Bonjour SoufianBOUAZAMA
1) Voir pièce jointe.
La courbe permettant de représenter la meurtrière de forme
carrée est donnée par la fonction f définie par f(x) = 1 sur l’intervalle [0 ;
1].
L’aire de ce carré est égale à 1 (m²).
2) La probabilité de l’événement a ≤ X ≤ b est
donnée par l’aire du rectangle dont la base est le segment [a ; b] et dont
la hauteur est 1.
La longueur de la base est égale à (b – a).
D’où l’aire de ce rectangle est égale à (b – a) * 1 = b – a.
Par conséquent,
[tex]\boxed{P(a\le X \le b) = b- a}[/tex].
Nous pourrions le vérifier comme suit :
[tex]P(a\le X\le b)=\int\limits_a^bf(t)\,dt=\int\limits_a^b1\,dt=[x]\limits_a^b=b-a[/tex]
3) Espérance mathématique.
[tex]E[X]= \int\limits_0^1tf(t)\,dt=\int\limits_0^1t\times1\,dt=\int\limits_0^1t \,dt =[\dfrac{t^2}{2}]\limits_0^1=\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}=\dfrac{1}{2}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{E(X)=\dfrac{1}{2}}[/tex]
[tex]\sigma^2(x)= E(X^2)-(E(X))^2\\\\=\int\limits_0^1t^2f(t)\,dt-(\dfrac{1}{2})^2\\\\=\int\limits_0^1t^2\times1\,dt-\dfrac{1}{4}\\\\=\int\limits_0^1t^2 \,dt-\dfrac{1}{4}\\\\=[\dfrac{t^3}{3}]\limits_0^1-\dfrac{1}{4}\\\\=[\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}]-\dfrac{1}{4}\\\\=\dfrac{1}{3}-0-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{12}-\dfrac{3}{12}\\\\=\dfrac{1}{12}[/tex]
D’où
[tex]\sigma(x) = \sqrt{\dfrac{1}{12}}=\dfrac{1}{\sqrt{12}}=\dfrac{\sqrt{12}}{12}=\dfrac{\sqrt{4\times3}}{12}=\dfrac{2\sqrt{3}}{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\sigma(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}}[/tex]
[tex]4)\ E(X)=\int\limits_a^btf(t)\,dt\\\\=\int\limits_a^bt\times\dfrac{1}{b-a}\,dt\\\\=\dfrac{1}{b-a}\int\limits_a^bt\,dt\\\\=\dfrac{1}{b-a}[\dfrac{t^2}{2}]\limits_a^b\\\\=\dfrac{1}{b-a}\times\dfrac{b^2-a^2}{2}\\\\=\dfrac{1}{b-a}\times\dfrac{(b-a)(b+a)}{2}\\\\=\dfrac{b+a}{2}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{E(X)= \dfrac{a+b}{2}}[/tex]
