Exercice 1 :
1) Vraie (car 5² = 25, 6² = 36, 5 < 6 et 25 < 36)
2) Faux (car (-5)² = 25, (-4)² = 16 or -4 > -5)
3) Faux (car (-6)² = 36, 5² = 25 or -6 < 5)
4) Vraie (car (-5)² = 25, (-6)² = 36, 25 < 36 et -5 > -6)
5) Vraie (car (-1)² = 1 et (-5)² = 25)
6) Vraie (car 1² = 1 et (-5)² = 25)
7) Vraie (car 0² = 0 et (-5)² = 25)
8) Faux (car si x = 4 alors x² = 16 or 16 ≠25)
Exercice 2 :
a. 2x ≤ 2x²
-2x²+2x ≤ 0
x(-2x+2) ≤ 0
soit
x ≤ 0
soit
-2x+2 ≤ 0
-2x ≤ -2
x ≥ 1
La solution de cette inéquation sont donc les intervalles ]-∞ ; 0] et [1 ; +∞[
b. (3x+1)² > (4x-1)²
(3x+1)²-(4x-1)² > 0
((3x+1)-(4x-1))((3x+1)+(4x-1)) > 0
(3x+1-4x+1)7x > 0
(-x+2)7x > 0
soit
7x > 0
x > 0
soit
-x+2 > 0
-x > -2
x < 2
La solution de cette inéquation est donc l'intervalle ]0 ; 2[
c. x²-1 ≥ 2(x+1)²
(x-1)(x+1)-2(x+1)² ≥ 0
(x+1)[(x-1)-2(x+1)] ≥ 0
(x+1(x-1-(2x+2)) ≥ 0
(x+1)(x-1-2x-2) ≥ 0
(x+1)(-x-3) ≥ 0
soit
x+1 ≥ 0
x ≥ -1
soit
-x-3 ≥ 0
-x ≥ 3
x ≤ -3
La solution de cette inéquation est donc l’intervalle [-3 ; -1]
Exercice 3 :
On sait que le sens de variation d'une fonction peut être observé grâce au signe de sa fonction dérivé. Si la fonction dérivé est positive alors la fonction est croissante sur cet intervalle et inversement.
f(x) = 3x²-2x-2
f'(x) = 6x-2
6x-2 > 0
6x > 2
x > 1/3
La fonction f(x) est donc décroissante sur ]-∞ ; 1/3] et croissante sur
]1/3 ; +∞[
g(x) = -2(x-3)²+7
g(x) = -2(x²+6x-9)+7
g(x) = -2x²-12x+18+7
g(x) = -2x²-12x+25
g'(x) = -4x-12
-4x-12 > 0
-4x > 12
x < -3
La fonction g(x) est donc croissante sur ]-∞ ; -3[ et décroissante sur
[-3 ; +∞[
h(x) = (3x-1)(5-2x)
h(x) = 15x-6x²-5+2x
h(x) = -6x²+17x-5
h'(x) = -12x+17
-12x+17 > 0
-12x > -17
x < 17/12
La fonction h(x) est donc croissante sur ]-∞ ; (17/12)[ et décroissante sur
[(17/12) ; +∞[
Exercice 4 :
Il suffit de remplacer x par 0 dans les différentes expressions afin de trouver quelle courbe appartient à quelle fonction. (à faire pour vérifier même si aucune justification n'est demandée).
f(0) = -2 la courbe représentative est donc la C1
g(0) = -(1/2)(0-2)²+2
g(0) = -(1/2)*4+2
g(0) = -2+2
g(0) = 0 la courbe représentative est donc la C4
h(0) = (0-1)²-2
h(0) = 1-2
h(0) = -1 la courbe représentative est donc la C2
k(0) = 1 la courbe représentative est donc la C3
Exercice 5 :
1. f(x) = 0
-0,04x²+3,3x = 0
x(-0,04x+3,3) = 0
soit
x = 0
soit
-0,04x+3,3 = 0
-0,04x = -3,3
x = 82,5
La largeur ne pouvant pas être nulle, la solution de l'équation à prendre en compte est x = 82,5. La largeur est donc de 82,5 mètres.
2. On sait que la formule pour trouver le maximum d'une fonction polynôme est (-b)/(2a)
On a donc :
(-3,3)/(2*(-0,04)) = 41,25
Nous avons donc le point d’abscisse du sommet de la parabole.
-0,04*(41,25)²+3,3*41,25 ≈ 68,06
Les coordonnées du sommet sont donc (41,25 ; 68,0).
