Bonjour Enileme
[tex]1)\ U_1=5-\dfrac{4}{U_0}=5-\dfrac{4}{2}=5-2=3\\\\U_2=5-\dfrac{4}{U_1}=5-\dfrac{4}{3}=\dfrac{15}{3}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{11}{3}\approx3,7\\\\U_3=5-\dfrac{4}{U_2}=5-\dfrac{4}{\dfrac{11}{3}}=5-\dfrac{12}{11}=\dfrac{55}{11}-\dfrac{12}{11}=\dfrac{43}{11}\approx3,9\\\\\\\Longrightarrow\boxed{U_1=3\ ;\ U_2=\dfrac{11}{3}\approx3,7\ ;\ U_3=\dfrac{43}{11}\approx3,9}[/tex]
[tex]2)\ a)\ \boxed{f(x)=5-\dfrac{4}{x}}[/tex]
b) Graphique en pièce jointe.
c) Selon le graphique, la suite u semble être croissante et sa limite semble être égale à 4.
[tex]3)\ V_n=\dfrac{4-U_{n}}{U_{n}-1}\\\\ a)\ V_0=\dfrac{4-U_{0}}{U_{0}-1}=\dfrac{4-2}{2-1}=\dfrac{2}{1}=2\\\\ V_1=\dfrac{4-U_{1}}{U_{1}-1}=\dfrac{4-3}{3-1}=\dfrac{1}{2}\\\\ V_2=\dfrac{4-U_{2}}{U_{2}-1}=\dfrac{4-\dfrac{11}{3}}{\dfrac{11}{3}-1}=\dfrac{1}{8}\\\\ V_3=\dfrac{4-U_{3}}{U_{3}-1}=\dfrac{4-\dfrac{43}{11}}{\dfrac{43}{11}-1}=\dfrac{1}{32}[/tex]
[tex]b)\ V_{n+1}=\dfrac{4-U_{n+1}}{U_{n+1}-1}= \dfrac{4-(5-\dfrac{4}{U_n})}{(5-\dfrac{4}{U_n})-1}= \dfrac{4-5+\dfrac{4}{U_n}}{5-\dfrac{4}{U_n}-1}\\\\= \dfrac{-1+\dfrac{4}{U_n}}{4-\dfrac{4}{U_n}}= \dfrac{\dfrac{-U_n+4}{U_n}}{\dfrac{4U_n-4}{U_n}}=\dfrac{4-U_n}{4(U_n-1)}=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{4-U_n}{U_n-1}\\\\=\dfrac{1}{4}\times V_n\\\\\Longrightarrow\boxed{V_{n+1}=\dfrac{1}{4}V_n}[/tex]
D'où la suite v est une suite géométrique de raison 1/4 et dont le premier terme est V0=2.
D'où
[tex]V_n=V_0\times (\dfrac{1}{4})^n\Longrightarrow\boxed{V_n=2\times (\dfrac{1}{4})^n}[/tex]
et
[tex]V_n=\dfrac{4-U_n}{U_n-1}\\\\(U_n-1)\times V_n=4-U_n \\\\U_n\times V_n-V_n=4-U_n\\\\ U_n\times V_n+U_n=4+V_n\\\\ U_n(V_n+1)=4+V_n\\\\ U_n=\dfrac{4+V_n}{V_n+1}\\\\\boxed{U_n= \dfrac{4+2\times (\dfrac{1}{4})^n}{2\times (\dfrac{1}{4})^n+1}}[/tex]
c) Nous savons que [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{1}{4})^n=0\ \ car\ \ 0\ \textless \ \dfrac{1}{4}\ \textless \ 1[/tex]
D'où
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{4+2\times (\dfrac{1}{4})^n}{2\times (\dfrac{1}{4})^n+1}\\\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{4+2\times 0}{2\times 0+1}\\\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{4+ 0}{ 0+1}\\\\\\\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=4}[/tex]
