Salut,
pour commencer ton DM, il faudrait que tu écrives à quoi correspond e(x). Selon la définition, tu dois expliciter le pourcentage d'évolution du prix et de l'élasticité.
Pour cela tu utilises la formule suivante pour le prix P : [tex]% = \frac{P_{nouveau}-P_{ancien}}{P_{ancien}} [/tex]. Tu peux aussi utiliser cette formule pour le pourcentage d'évolution de l'élasticité [tex]% = \frac{f(P_{nouveau})-f(P_{ancien})}{f(P_{ancien})} [/tex] sauf que cette fois il faut utiliser la fonction f.
Tu peux calculer ces pourcentages pour répondre à la première question en considérant [tex]P_{ancien}=1[/tex] et [tex]P_{nouveau}=1,1[/tex]. Une fois que tu as fait le calcul des deux pourcentage n'oublie pas de calculer le rapport entre les deux.
Deuxième question :
si tu regardes la formule de l'élasticité, cela se résume à ça : [tex] \frac{P_{nouveau}-P_{ancien}}{P_{ancien}} \times \frac{f(P_{ancien})}{f(P_{nouveau})-f(P_{ancien})} [/tex].
Le but de la question est d'analyser le signe de cette quantité. Il faut se rappeler qu'un pourcentage d'évolution n'est pas négatif. Il est toujours positif même lorsque qu'il s'agit d'une baisse de prix. On parle de baisse de 0,5%, on ne parle pas d'évolution de -0.5% (en tout cas pas en terme de calcul mathématique). Du coup dans la formule que je te donne il faudra toujours faire en sorte d'avoir [tex]P_{nouveau}-P{ancien} \ \textgreater \ 0[/tex]. Autrement dit il faut toujours penser à remplacer le prix "nouveau" par le plus grand si ce n'est pas déjà le cas.
Une fois qu'on a dit ça, il faut se demander quel sera le signe de toute cette quantité. La première partie du produit est forcément positive pour les raisons que j'ai expliqué précédemment. La partie plus difficile est la deuxième parce qu'elle suppose d'analyser la fonction f.
Il faut donc analyser la quantité [tex] \frac{f(P_{nouveau})-f(P_{ancien})}{f(P_{ancien})} [/tex] pour [tex]0 \leq P \leq 7[/tex]. Cet exercice revient donc à deux choses :
- analyser le signe de [tex] f(P_{nouveau})-f(P_{ancien})[/tex]
- analyser le signe de [tex] f(P_{ancien})[/tex]
Comme je l'ai dit avant, on fait toujours en sorte d'avoir [tex]P_{nouveau}\ \textgreater \ P_{ancien}[/tex] pour calculer le taux d'évolution. Par conséquent, se poser la question du signe de la quantité [tex] f(P_{nouveau})-f(P_{ancien})[/tex] sachant que [tex]P_{nouveau}\ \textgreater \ P_{ancien}[/tex] revient à se demander si f est croissante ou décroissante sur [0;7] (si tu ne vois pas pourquoi je t'invite à revoir la définition d'une fonction croissante/décroissante).
Le deuxième point revient à se demander si la fonction f est positive ou négative sur [0;7].
Donc faisons l'analyse de f qui est un polynôme du second degré.
On a [tex]f'(x)=0.2x - 1.6[/tex] qui est une fonction affine croissante. Le signe de cette dérivée est négatif avant le passage à 0 et positif après. Le passage à zéro est [tex]f'(x)=0 \iff 0.2x=1.6 \iff x=8[/tex]. Par conséquent, la dérivée est toujours négative sur [0;7] ce qui signifie que la fonction f est décroissante sur [0;7].
Pour connaitre le signe de f il faut analyser ses racines. On a [tex]\delta = 1.6^2 - 4 \times 6.4 \times 0.1 = 0[/tex] il y a donc une unique racine ce qui signifie que la parabole de cette fonction touche l'axe des abscisses en un seul point. Par conséquent elle est toujours du même signe qui est positif car [tex]a=0.1 \ \textgreater \ 0[/tex].
Pour conclure, la première quantité est toujours négative, la deuxième toujours positive, donc le quotient est toujours négatif (par la règle des signes).
Pour la question 3. a) il te suffit de faire le calcul avec G et de comparer avec ton résultat à la question 1. En traçant G à la calculatrice tu vois qu'elle a la forme d'une fonction inverse qui est bien de signe négatif entre 0 et 7.
Pour calculer G'(x) tu peux développer l'expression de G :[tex]G(x)=x \frac{0.2x-1.6}{0.1x^2-1.6x+6.4} = \frac{0.2x^2-1.6x}{0.1x^2-1.6x+6.4} [/tex].Ensuite tu peux utiliser la formule du quotient pour dériver et pour la suite il s'agit d'une étude de fonction banale.
Voilà pour un début sur ton DM, si tu as besoin pour la suite, pour vérifier tes résultats ou si tu n'as pas compris certains points, n'hésite pas
