Bonjour
[tex]\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}*\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} [/tex]
Donc
[tex]\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} [/tex]
Donc
1/(1+√2)+1/(√2+√3)+...+1/(√(n+1)+√n)
=√2-1+√3-√2+...+√n-√(n-1)+√(n+1)-√n
Les termes consécutifs s'éliminent 2 à 2 sauf le premier et le dernier donc :
1/(1+√2)+1/(√2+√3)+...+1/(√(n+1)+√n)=√(n+1)-1
On doit donc trouver n tel que :
√(n+1)-1≥100
Soit √(n+1)≥101
n+1≥101²
n≥101²-1
n≥10200
Le plus petit entier n vérifiant l'inégalité est n=10200
