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résolu

Bonjour merci de m'aider pour 15 points
ABC est un triangle en A tel que AB=6cm et AC= 3cm
Le point M est un point du segment [AB]. On pose AM=x
La parallèle à AC passant M coupé [BC] en N
La parallèle à [AB] passant par N coupe [AC] en P
(Voir image)

1) Déterminer en justifiant la nature du quadrilatère MNPA
2)Dans quel intervalle I varie x ? Justifier
3) Exprimer la distancé MN en fonction de x
4) On considère la fonction f définie sur [0;6] par f(x)=0,5x ×(6-x)
Montrer que l'aire de MNPA = f(x)
5) Montrer que pour tout réel x de [0;6], f(x)= -1÷2(x-3)^2 + 9÷2
6)Démontrer alors :
a)la position du point M sur le segment [AB] pour que l'aire du quadrilatère MNPA soit maximale

b) pour quel valeur de x l'aire du quadrilatère MNPA est égale à 2,5 cm^2

Répondre :

1) MNPA et un parallélogramme, car on dit que MN//AC et NP//AB
2) x varie dans l'intervalle [0;6]
3) D'après le théorème de Thalès, on peut écrire :  MN/AC  =  BM/AB.
Or AC = 3 ; AB  =  6 ; BM = 6 - x ;
Donc  :  MN  =  AC·BM/AB  =  3 (6-x)/6 = (6-x)/2  =  3 - x/2

Pour que le problème 4) soit possible, il faut que AC soit perpendiculaire à AB, donc que le triangle soit rectangle. Dans ce cas, AMNP est un rectangle dont la surface vaut :  
S  =  AM·MN  =  x (3 - x/2)  =  3x - x2/2
f(x)  =  0.5 x (6 - x)  =  3x  -  x2/2

Le problème 5 est faux, ou mal écrit ...
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