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résolu

Bonjour merci de m'aider pour 20 points
Dans un repère orthonormé du plan (O ;I ;J) d'unités graphique 2cm, on considère les points A (5;3÷2) B (2; 7÷4) et F (-1 ;2)

On considère la fonction holographique f définie sur [ -1÷2 ; 5] par f(x)=(2x-1) ÷(x+1)
On note (H) sa représentation graphique dans le repèreorthonormé (O;I;J)

1)Les points B et C appartiennentils à H?

2)Montrer que f(racine2)= 5-3racine2

3) Resoudre dans [-1÷2 ;5] l'inequation f(x)> -2

4)
a) montrer que pour réel x appartient [-1÷2 ;5], f(x)= 2-[-3÷(x+1)]
b) Étudier le sens de variation de la fonction f sur [-1÷2 ; 5]
c) Dresser le tableau de variation de f sur [ -1÷2;5]


Répondre :

f(x) = (2x-1)/(x+1)
1) B(2;7/4)  (2x-1)/(x+1) = 3/3 = 1 ≠ 7/4 donc B ∉ H
     C(-1;2)   (2x-1)/(x+1) = -3/0 ≠2 donc C∉ H
2) f(√2) = (2√2-1)/(√2+1) = ((2√2-1)(√2-1))/((√2+1)(√2-1))
             = (2*2-2√2-√2+1) / (2-1)
              = 5 -3√2
3) f(x) > -2    (2x-1)/(x+1) > -2
     On a x ≥ -1/2 donc x+1 ≥ +1/2 donc 2x-1> -2(x+1)
      2x-1 > -2x-2
       
4x > -1        x> -1/4        S = ]-1/4;+∞[ ∩ [-1/2 ;5] = ]-1/4;5] 
4)a) c'est le même ensemble de def
      f(x) = 2 + (-3)/(x+1) = 2 - 3/(x+1) = (2x+2-3)/(x+1) = (2x-1)(x+1)
    b) f'(x) = -3 [(x+1)⁻¹]' = -3 [-(x+1)⁻²] = +3/(x+1)² > 0
     donc f(x) est croissante sur l'intervalle de définition.
    c) Comme f est toujours croissante, alors il suffit de calculer les images des valeurs "extrêmes" de l'intervalle de def :
  f(-1/2) = 2 - 3 /(1/2) = 2 - 6 = -4
  f(5) = 2 - 3/6 = 2 - 1/2 = 3/2
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