Bonjour Emeline2108,
Exercice 1 :
1) Variables : I, N : nombres entiers
U : nombre réel
Initialisation :
Saisir N
Traitement :
U prend la valeur 1/2
Pour I allant de 1 à n, faire
U prend la valeur (8U+3)/(U+6)
Fin Pour
Sortie :
Afficher U
Après programmation de cet algorithme, nous obtenons [tex]u_{18}\approx2,9998[/tex] (arrondi à 10⁻⁴ près)
[tex]2a)\ f(x)=\dfrac{8x+3}{x+6}\\\\f'(x)=\dfrac{8(x+6)-1(8x+3)}{(x+6)^2}=\dfrac{8x+48-8x-3}{(x+6)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{45}{(x+6)^2}}[/tex]
45 > 0 et (x+6)² > 0 quel que soit x réel.
D'où f'(x) > 0 sur [0 ; +oo[
Par conséquent, f est strictement croissante sur [0 ; +oo[ avec f(0) = 1/2 et [tex]\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=8[/tex]
b) F est strictement croissante sur [0 ; +oo[
D'où pour tout x dans [1 ; 3], nous avons :
1 ≤ x ≤ 3 ==> f(1) ≤ f(x) ≤ f(3)
1 ≤ x ≤ 3 ==> 11/7 ≤ f(x) ≤ 3
x ∈ [1 ; 3] ==> f(x) ∈ [11/7 ; 3] ==> f(x) ∈ [1 ; 3]
c) Montrons par récurrence que pour tout n ≥ 1, on a 1 ≤ Un ≤ 3
Initialisation : n = 1
[tex]U_1=f(U_0)=\dfrac{8U_0+3}{U_0+6}=\dfrac{8\times\frac{1}{2}+3}{\frac{1}{2}+6}=\dfrac{14}{13}\approx1,07 \in [1;3]\\\\\Longrightarrow1\le U_1\le3[/tex]
Hérédité :
On suppose que un entier n ≥ 1, nous avons : 1 ≤ Un ≤ 3
Montrons que [tex]1\le U_{n+1}\le 3[/tex]
En utilisant la question 2b), nous obtenons :
[tex]1\le U_n\le3\Longrightarrow 1\le f(U_n)\le3\\\\1\le U_n\le3\Longrightarrow \boxed{1\le U_{n+1}\le3}[/tex]
L'initialisation et l'hérédité étant vraies, nous avons ainsi montré que pour tout n ≥ 1, nous avons 1 ≤ Un ≤ 3.
3) a) Graphique en pièce jointe.
b) Par ce graphique, nous pouvons conjecturer que la suite (Un) est croissante et que cette suite semble converger vers 3.
[tex]4a)\ U_{n+1}-U_n=\dfrac{8U_n+3}{U_n+6}-U_n=\dfrac{8U_n+3-U_n(U_n+6)}{U_n+6}\\\\=\dfrac{8U_n+3-U_n^2-6U_n}{U_n+6}=\dfrac{-U_n^2+2U_n+3}{U_n+6}\\\\\boxed{=\dfrac{(U_n+1)(3-U_n)}{U_n+6}}\\\\\\b)\ 1\le U_n\le3\Longrightarrow2\le U_n+1\le4\Longrightarrow U_n+1\ \textgreater \ 0\\U_n\le3\Longrightarrow3- U_n\ge0\\1\le U_n\Longrightarrow 1+6\le U_n+6\Longrightarrow U_n+6\ge 7\Longrightarrow U_n+6\ge 0\\\\d'o\grave{u}:U_{n+1}-U_n\ge0\\\\\boxed{U_{n+1}\ge U_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (Un) est croissante.
[tex]5)a)\ V_{n+1}=\dfrac{U_{n+1}-3}{U_{n+1}+1}=\dfrac{\dfrac{8U_n+3}{U_n+6}-3}{\dfrac{8U_n+3}{U_n+6}+1}=\dfrac{\dfrac{8U_n+3-3U_n-18}{U_n+6}}{\dfrac{8U_n+3+U_n+6}{U_n+6}}\\\\=\dfrac{5U_n-15}{9U_n+9}=\dfrac{5(U_n-3)}{9(U_n+1)}=\dfrac{5}{9}\times\dfrac{U_n-3}{U_n+1}=\boxed{\dfrac{5}{9}\times V_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (Vn) est géométrique de raison q=5/9 et dont le premier terme est V0=-5/3
[tex]b)\ V_n=V_0\times q^n\\\\\boxed{V_n=-\dfrac{5}{3}\times(\dfrac{5}{9})^n}[/tex]
[tex]V_n=\dfrac{U_n-3}{U_n+1}\\\\(U_n+1)V_n=U_n-3\\\\U_nV_n+V_n=U_n-3\\\\U_nV_n-U_n=-3-V_n\\\\U_n(V_n-1)=-3-V_n\\\\U_n=\dfrac{-3-V_n}{V_n-1}\\\\\boxed{U_n=\dfrac{-3+\dfrac{5}{3}\times(\dfrac{5}{9})^n}{-\dfrac{5}{3}\times(\dfrac{5}{9})^n-1}}[/tex]
[tex]c)\ S=\sum\limits_{k=0}^nV_k=V_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\\\\S=-\dfrac{5}{3}\times\dfrac{1-(\dfrac{5}{9})^{n+1}}{1-\dfrac{5}{9}}=-\dfrac{5}{3}\times\dfrac{1-(\dfrac{5}{9})^{n+1}}{\dfrac{4}{9}}\\\\\boxed{S=-\dfrac{15}{4}[1-(\dfrac{5}{9})^{n+1}]}[/tex]
Exercice 2:
[tex]f(x)=\dfrac{1}{x}\\\\f'(x)=(\dfrac{1}{x})'=-\dfrac{1}{x^2}\\\\f''(x)=(-\dfrac{1}{x^2})'=\dfrac{2x}{x^4}=\dfrac{2}{x^3}\\\\f'''(x)=(\dfrac{2}{x^3})'=\dfrac{-2\times3x^2}{x^6}=-\dfrac{6}{x^4}[/tex]
[tex]f^{(4)}(x)=(-\dfrac{6}{x^4})'=\dfrac{-6\times(-4x^3)}{x^8}=\dfrac{24x^3}{x^8}=\dfrac{24}{x^5}[/tex]
On peut alors conjecturer la formule de la dérivée n-ième de f :
[tex]f^{(n)}=\dfrac{(-1)^n\times n!}{x^{n+1}}[/tex]
Démontrons cette formule par récurrence.
Initialisation :
[tex]f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\\\\\dfrac{(-1)^1\times1!}{x^{1+1}}=-\dfrac{1}{x^2}[/tex]
Hérédité :
Supposons que pour un n fixé ≥ 1, nous avons : [tex]f^{(n)}=\dfrac{(-1)^n\times n!}{x^{n+1}}[/tex]
Montrons que [tex]f^{(n+1)}=\dfrac{(-1)^{n+1}\times (n+1)!}{x^{n+2}}[/tex][/tex]
En effet,
[tex]f^{(n+1)}=[f^{(n)}]'=[\dfrac{(-1)^n\times n!}{x^{n+1}}]'=(-1)^n\times n!\times[\dfrac{1}{x^{n+1}}]'\\\\\\=(-1)^n\times n!\times[\dfrac{-(n+1)}{x^{n+2}}]\\\\\\=(-1)^n\times n!\times(-1)\times(n+1)[\dfrac{1}{x^{n+2}}]\\\\\\=(-1)^n\times(-1)\times n!\times(n+1)\times[\dfrac{1}{x^{n+2}}]\\\\\\=(-1)^{n+1}\times(n+1)!\times[\dfrac{1}{x^{n+2}}]\\\\\\=\dfrac{(-1)^{n+1}\times(n+1)!}{x^{n+2}}[/tex]
L'initialisation et l'hérédité étant vraies, nous avons montré que pour tout n entier non nul,
[tex]f^{(n)}=\dfrac{(-1)^n\times n!}{x^{n+1}}[/tex]
