Bonjour,
Le dodecagone est composé de 12 triangles isoceles en O, centre du cercle circonscrit. La longueur des côtés égaux deux à deux de chaque triangle est égale au rayon r du cercle (c'est ce que l'on cherche pour calculer le périmètre du cercle). Le troisième côté à pour longueur celle d'un des côtés du dodecagone, ici 1cm.
L'angle en O de chaque triangle vaut 360/12 = 30 degrés.
Les deux autres angles sont égaux et valent donc (180-30)/2 = 75 degrés.
On appeler OAB un des douze triangles.
Et H le milieu de [AB].
(OH) est une médiane, une hauteur, et la bissevtrice de l'angle AOH.
Dans le triangle OAH, rectangle en H, on a donc :
sin (AOH) = AH / AB
Donc r = AB = AH / sin(AOH) = 0,5 / sin (15) = 1,93 (arrondi)
Périmètre du cercle circonscrit p = 2 x pi x r = 12,14
Pour le cercle inscrit, le rayon est la hauteur des triangles isoceles, soit OH que l'on obtient avec cos(15) = OH / AB ou par le théorème de Pythagore dans le triangle OAH
