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Bonjour,
Cet exercice te montre que le raisonnement par récurrence comporte 2 parties:
- l'initialisation
-l'hérédité
Les deux parties sont nécessaires, si on n'en a montré qu'une, on n'a rien démontré.
1)
Dans la première question on démontre l'hérédité
supposons que P(k) est vraie, c'est à dire que pour un certain k, 4^k +1=3a avec a entier.
et on veut démontrer que 4^(k+1)+1 est multiple de 3
4^(k+1)+1= 4^k * 4 +1
comme 4^k +1=3a alors 4^k=3a-1
donc 4^(k+1)+1=4^k * 4 +1 =(3a-1)*4 +1= 12a-4+1=12a-3= 3(4a-1)
donc si 4^k +1 est multiple de 3, alors 4^(k+1)+1 est aussi multiple de 3.
2)
Non,
si n=0 on voit que 4^0+1=5 n'est pas multiple de 3, donc il existe n tel que la propriété P n'est pas vérifiée
Cet exercice te montre que le raisonnement par récurrence comporte 2 parties:
- l'initialisation
-l'hérédité
Les deux parties sont nécessaires, si on n'en a montré qu'une, on n'a rien démontré.
1)
Dans la première question on démontre l'hérédité
supposons que P(k) est vraie, c'est à dire que pour un certain k, 4^k +1=3a avec a entier.
et on veut démontrer que 4^(k+1)+1 est multiple de 3
4^(k+1)+1= 4^k * 4 +1
comme 4^k +1=3a alors 4^k=3a-1
donc 4^(k+1)+1=4^k * 4 +1 =(3a-1)*4 +1= 12a-4+1=12a-3= 3(4a-1)
donc si 4^k +1 est multiple de 3, alors 4^(k+1)+1 est aussi multiple de 3.
2)
Non,
si n=0 on voit que 4^0+1=5 n'est pas multiple de 3, donc il existe n tel que la propriété P n'est pas vérifiée
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