bonjour
1) démontrer que [tex]v_{n} [/tex]>0
raisonnement par récurrence
1) initialisation
montrons que la propriété est vraie pour n=0
si n=0 on sait que Vo=1 (énoncé)
1>0 donc la propriété est VRAIE au rang 0
2)Hérédité
supposons que pour k€N [tex]v_{k} [/tex]>0
on va démontrer que si Pn est vraie P(n+1) est vraie aussi.
hypothèse de récurrence Vk VRAIE
V( k +1) = Vk / (1+Vk)
comme Vk est positif <=> 1+Vk positif
et par conséquent Vk/ (1+V(k+1)) est vraie
donc la propriété est héréditaire
Conclusion
Vn> 0 pour tout n ∈ N
2)
Un = 1 /Vn
=>
U(n+1) = 1/ V(n+1)
U(n+1) = 1 /(Vn / (1+Vn)) = (1+Vn) / Vn
Un = 1/Vn
U(n+1) - U(n) = (1+Vn ) / Vn - 1/Vn
U(n+1) - U(n) = (1+Vn -1 )/ Vn
=Vn/Vn = 1
donc Un est une suite arithmétique de raison r = 1
et de terme initial Uo = 1/Vo = 1/1 = 1
b)
expression de Un en fonction de n
Un = Uo + n×r
un = 1 + n × 1
Un= 1+n
expression de Vn en fonction de n
Un = 1/Vn => Vn = 1/Un
Vn = 1/ (1+n)
