bonjour
démontrer par récurrence que [tex]4^{n} [/tex] ≥4 n+1
initialisation
pour n=2
d'une part 4^n = 4² = 4×4=16
d'autre part 4 n +1 = 2×2 +1 = 5
16 ≥ 5 vrai
donc la propriété est vraie au rang 0 c'est à dire pour n = 2
hérédité
supposons que pour un entier naturel k ≥2
4^k ≥ 4 k +1 (hypothèse de récurrence)
il faut montrer que la propriété est vraie pour l'entier suivant
k≥ 2 alors
4^k × 4 ≥ 4× (4k+1)
4^(k+1) ≥ 16k +4
et 16k +4 - [4(k+1)+1] = 16k+4 - 4k -4-1 = 12k -1
comme k ≥ 2 on a 12k -1 ≥ 0
et 4^(k+1) ≥ 16k +4 ≥ 4(k+1) +1
donc la propriété est héréditaire
conclusion
proposition vraie pour k =2
par hérédité elle est vraie pour l'entier supérieur
elle est donc vraie pour tout nombre entier n, n>2
[tex]4^{n} [/tex]> 4n +1
