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résolu

Problème : Dans un ancien livre de mathématiques, on trouve la formule suivante : "Dans un triangle, la somme des carrés des longueurs des médianes est
égale aux trois quart de la somme des carrés des longueurs des côtés" Autrement dit, en utilisant les notations ci-dessous, ma²+mb²+mc² = 3/4 (a²+b²+c²) Vérifier cette formule dans le cas ou le plan est rapporté au repère orthonnormé (O;I;J) avec A(-1;2), B(-3;-2) et C(5;0).

Répondre :

Bonjour Lisalililisalili

Soit a = BC
       b = AC
       c = AB
       A' le milieu de [BC]
       B' le milieu de [AC]
       C' le milieu de [AB]

Alors déterminons les coordonnées de A', B' et C'.

[tex]A'(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2})=(\dfrac{-3+5}{2};\dfrac{-2+0}{2})=(1;-1)\\\\B'(\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})=(\dfrac{-1+5}{2};\dfrac{2+0}{2})=(2;1)\\\\C'(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})=(\dfrac{-1-3}{2};\dfrac{2-2}{2})=(-2;0)[/tex]

D'où,

[tex]A'(1;-1)\ ,\ B'(2;1)\ ;\ C'(-2;0)[/tex]

Ensuite,

[tex]m^2_A=AA'^2=(x_{A'}-x_A)^2+(y_{A'}-y_A)^2=(1+1)^2+(-1-2)^2\\\\=2^2+(-3)^2=4+9=13[/tex]

[tex]m^2_B=BB'^2=(x_{B'}-x_B)^2+(y_{B'}-y_B)^2=(2+3)^2+(1+2)^2\\\\=5^2+3^2=25+9=34[/tex]

[tex]m^2_C=CC'^2=(x_{C'}-x_C)^2+(y_{C'}-y_C)^2=(5+2)^2+(0-0)^2\\\\=7^2+0^2=49+0=49[/tex]

De plus,

[tex]a^2=BC^2=(5+3)^2+(0+2)^2=8^2+2^2=64+4=68\\\\b^2=AC^2=(5+1)^2+(0-2)^2=6^2+(-2)^2=36+4=40\\\\c^2=AB^2=(-3+1)^2+(-2-2)^2=(-2)^2+(-4)^2=4+16=20[/tex]

D'où,

[tex]m^2_A+m^2_B+m^2_C=13+34+49\\\\\boxed{m^2_A+m^2_B+m^2_C=96}\\\\\dfrac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=\dfrac{3}{4}(68+40+20)\\\\\dfrac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=\dfrac{3}{4}\times128\\\\\boxed{\dfrac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)=96}[/tex]

Par conséquent,

[tex]\boxed{m^2_A+m^2_B+m^2_C=\dfrac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)}[/tex]
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