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résolu

Pourriez-vous m'aider svp? Merci d'avance!

Une agence de voyage cherche à faire une campagne de production pendant les weeks-ends du printemps· Elle veut mettre en vente des séjours "Musées et gastronomie". On appelle x le nombre de séjours vendus par l'agence.
Le coût en euros, de ces séjours dépend du nombre x de réservations et peut être modélisé par la fonction définie sur [4;16] par f(x)= x + 692 - 64/x + 512/x² où x le nombre de séjours.

1) Montrer que f'(x)= x³+64x-1024 / x³

2) Montrer que x³+64x-1024 = (x-8) (x²+8x+128)

3) En déduire le signe de f'(x) sur [4;16]

4) En déduire les variations de f

5) Combien de séjours faut-il commander pour que le coût soit minimum? Préciser le coût minimal ainsi obtenu.

Répondre :

BERNIE76VIZ
Bonjour,

1) La difficulté pour le calcul de f '(x) est de dériver le terme : 512/x².

La dérivée de 1/u est : -u'/u².

u=x² donc u'=2x

Donc (512/x²) ' =-512*2x/x^4=-1024/x^3

f '(x)=1+(64/x²)-(1024/x^3)

On réduit au même déno :

f '(x)=(x^3+64x-1024) / x^3

2) Tu développes ce qui est donné.

3) Tu cherches le discriminant de x²+8x+128 qui est < 0 donc pas de racine.

Donc : x²+8x+128 > 0 car coeff de x² > 0.

f '(x) sur [4;16] est donc du signe de : x-8  car son déno est > 0..

Facile de donner le signe de f'(x).

4) f (x) décroît sur [4;8] et croît ensuite.

5) Coût minimal pour x=4 et vaut f(4) que tu calcules.

La calculatrice donne  700 €.
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