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Bonjour Amalle34
Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique:
[tex]S=\text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}[/tex]
[tex]a)\ S_1=1+1,5+1,5^2+....+1,5^{n-1}\\\\S_1=1,5^0+1,5^1+1,5^2+....+1,5^{n-1}[/tex]
S1 est la somme de n termes en progression géométrique de raison 1,5 et dont le premier terme est 1.
En utilisant la formule rappelée, nous obtenons :
[tex]S_1=1\times\dfrac{1-1,5^n}{1-1,5}\\\\S_1=\dfrac{1-1,5^n}{-0,5}\\\\S_1=\dfrac{1,5^n-1}{0,5}\\\\S_1=\dfrac{1,5^n-1}{\dfrac{1}{2}}\\\\S_1=(1,5^n-1)\times\dfrac{2}{1}\\\\\boxed{S_1=2(1,5^n-1)}[/tex]
[tex]b)\ S_2= 3+3\times0,9+3\times0,9^2+....+3\times0,9^n\\\\S_2= 3(1+0,9+0,9^2+....+0,9^n)[/tex]
Or [tex]1+0,9+0,9^2+....+0,9^n[/tex] est la somme de (n+1) termes d'une suite géométrique de raison 0,9 et dont le premier terme est 1.
D'où
[tex]1+0,9+0,9^2+....+0,9^n=1\times\dfrac{1-0,9^{n+1}}{1-0,9}\\\\\\=\dfrac{1-0,9^{n+1}}{0,1}=\dfrac{1-0,9^{n+1}}{\dfrac{1}{10}}=(1-0,9^{n+1})\times\dfrac{10}{1}\\\\\\=(1-0,9^{n+1})\times10=10(1-0,9^{n+1})[/tex]
Par conséquent,
[tex]S_2=3\times10(1-0,9^{n+1})\\\\\boxed{S_2=30(1-0,9^{n+1})}[/tex]
Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique:
[tex]S=\text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}[/tex]
[tex]a)\ S_1=1+1,5+1,5^2+....+1,5^{n-1}\\\\S_1=1,5^0+1,5^1+1,5^2+....+1,5^{n-1}[/tex]
S1 est la somme de n termes en progression géométrique de raison 1,5 et dont le premier terme est 1.
En utilisant la formule rappelée, nous obtenons :
[tex]S_1=1\times\dfrac{1-1,5^n}{1-1,5}\\\\S_1=\dfrac{1-1,5^n}{-0,5}\\\\S_1=\dfrac{1,5^n-1}{0,5}\\\\S_1=\dfrac{1,5^n-1}{\dfrac{1}{2}}\\\\S_1=(1,5^n-1)\times\dfrac{2}{1}\\\\\boxed{S_1=2(1,5^n-1)}[/tex]
[tex]b)\ S_2= 3+3\times0,9+3\times0,9^2+....+3\times0,9^n\\\\S_2= 3(1+0,9+0,9^2+....+0,9^n)[/tex]
Or [tex]1+0,9+0,9^2+....+0,9^n[/tex] est la somme de (n+1) termes d'une suite géométrique de raison 0,9 et dont le premier terme est 1.
D'où
[tex]1+0,9+0,9^2+....+0,9^n=1\times\dfrac{1-0,9^{n+1}}{1-0,9}\\\\\\=\dfrac{1-0,9^{n+1}}{0,1}=\dfrac{1-0,9^{n+1}}{\dfrac{1}{10}}=(1-0,9^{n+1})\times\dfrac{10}{1}\\\\\\=(1-0,9^{n+1})\times10=10(1-0,9^{n+1})[/tex]
Par conséquent,
[tex]S_2=3\times10(1-0,9^{n+1})\\\\\boxed{S_2=30(1-0,9^{n+1})}[/tex]
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