Bonjour Marevav
Question 3
[tex]\psi(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}[/tex]
a) [tex]\psi[/tex] est définie sur R car f(x) ≠ 0 pour tout x réel (voir question 2)
b) [tex]\psi[/tex] est dérivable sur R car f et g sont dérivables sur R et f(x) ≠ 0.
Calcul de la dérivée :
[tex]\psi'(x)=(\dfrac{g(x)}{f(x)})'\\\\\psi'(x)=\dfrac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{(f(x))^2}[/tex]
Or f '(x) = f(x) et g'(x) = g(x)
D'où
[tex]\psi'(x)=\dfrac{g(x)f(x)-g(x)f(x)}{(f(x))^2}\\\\\psi'(x)=\dfrac{0}{(f(x))^2}\\\\\boxed{\psi'(x)=0}[/tex]
c) Puisque la dérivée de [tex]\psi[/tex] est nulle, la fonction [tex]\psi[/tex] est une fonction constante.
Or [tex]\psi(0)=\dfrac{g(0)}{f(0)}=\dfrac{1}{1}=1[/tex]
Puisque la fonction [tex]\psi[/tex] est une fonction constante et que [tex]\psi(0)=1[/tex], on en déduit que [tex]\psi(x)=1[/tex] quel que soit le réel x.
d) Conclure.
[tex]\psi(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}\ \ et\ \ \psi(x)=1\\\\\Longrightarrow\dfrac{g(x)}{f(x)}=1\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=g(x)}[/tex]
Puisque pour tout x réel, f(x) = g(x), on en déduit que [tex]\boxed{f = g}[/tex]
