Bonjour,
Pour prouver qu'un quadrilatère non croisé est un losange , il suffit de prouver que c'est un parallélogramme donc deux cotés consécutifs sont de même longueur.
I ) Prouvons que OBDC est un parallélogramme. Pour se faire nous allons prouver que OB // CD et que BD //CO
rappelons que deux droites sont parallèles si leurs coefficients directeurs sont identiques, c'est à dire que dans l'équation f(x) = ax+b , a est commun.
1) Prouvons que OB// CD
a ) Cherchons l'équation de droite de OB :
O a pour coordonnées (0,0) donc F(0) = 0 = a (0) +b = 0 donc b= 0 (1)
B a pour coordonnées ( 3,1) donc F(3) = 1 = 3(a) +b= 1 (2)
on a système d'équation donc : comme b= 0 on a donc :
dans (2) 3a = 1
donc a = 1/3
La droite OB a pour coeff directeur : 1/3
b) cherchons l'équation de droite de CD
C a pour coordonnées (-1,-3 ) donc F(-1) = -3 donc : -a+b= -3 (1)
D a pour coordonnées ( 2;-2) donc F( 2) = -2 donc 2a+b = -2 (2)
Je soustrais (1) à (2) on a : 2a+a+b-b = -2- (-3) = 3a = 1 ; a = 1/3
conclusion partielle :
La droite CD a pour coeff dir 1/3 doonc OB et CD ont le même coeff dir donc OB // CD
2) Prouvons que CO // BD
a) C a pour coordonnées (-1;-3 ) donc F(-1) =-3 = -a+b= -3
O a pour coordonnées (0;0) donc f(0)=0 = a(o) +b =0 donc b=0
on en conclut que si b= 0 alors -a+b = -3 si a = 3
CO a pour coeff dir 3
b) déterminons le coeff dir de BD
B a pour coordonnées ( 3;1 ) donc F(3) = 1 donc 3a+b = 1 (1)
D a pour coordonnées ( 2;-2 ) donc F(2) = -2 donc 2a +b = -2 (2)
on soustrait (2) à (1) et on a ; 3a-2a+b-b = 1- -2 = a = 3
BD a pour coef dir 3
Conclusion partielle : CO // BD
Comme BD // CO et OB // CD alors OBDC est un parallélogramme.
II ) Prouvons maintenant que OBCD a deux cotés consécutifs de même longueur.
1 ) CO et OB sont deux cotés consécutifs.
2 ) la distance entre deux points est donnée par V (( Xb-Xa)² - (Yb-Ya) ² )
distance CO = V ( (0--1)² + ( 0--3)² ) = V (1+ 9) = V10
distance OB = V (( 3-0)² + (1-0)² ) = V ( 9+1) = V10
CO = OB
Conclusion : OBDC est un parallélogramme et a deux cotés consécutifs de même longueur donc OBDC est un losange.
