bonjour
1)
f(x) =ax² +bx +c
Δ =b² -4ac
x1 = (-b-√Δ) /2a
x2= (-b+√Δ) /2a
somme des racines
x1 +x 2
=(-b-√Δ) /2a + (-b+√Δ) /2a
=(-b-√Δ -b+√Δ) /2a
=-2b /2a
on simplifie par 2
= -b/a
donc la somme des racines vaut -b/a
produit des racines
x1 × x 2
=(-b-√Δ) /2a × (-b+√Δ) /2a
= (-b-√Δ) × (-b+√Δ) / 4a²
=(b² -√Δ²)/4a²
=(b² -Δ)/4a²
or on sait que Δ =b²-4ac
on remplace = (b² -(b²-4ac)) /4a²
=(b² -b²+4ac) /4a²
=4ac / 4a²
on simplifie par 4a
=c/a
donc le produit des racines vaut c/a
b)
si a =1
comme S= -b/a on a
-b=S×a =S×1
donc b = -S
P=c/a => c = P×a =P×1
donc c = P
c)
(x-u) (x-v) =x² -(u+v) x +uv
si on remplace somme des racines par S
et le produit des racines par P
on a l'équation :
x² -Sx +P = 0
( ou u et v sont solutions de l'équation)
2)
u+v= 60
u×v=851
on remplace dans l'équation :
x² -Sx +P = 0
x² -60x +851 =0
Δ=b²-4ac = 60²-4×1×851 =196=14²
u= (-b-√Δ) /2a
=(60-14)/2 =46/2=23
v= (-b+√Δ) /2a
=(60+14)/2 =74/2=37
23+37=60
23×37=851
3)
on résout les systèmes avec la m^me méthode
a)
x+y=29
x×y=210
on remplace dans l'équation :
x² -Sx +P = 0
x² -29x +210 = 0
Δ=1
√Δ=1
u=14
v=15
b)
x+y= -1/6
x×y= -1/6
on remplace dans l'équation :
x² -Sx +P = 0
x² + 1/6x -1/6 = 0
Δ=25/36
√Δ=5/6
u= -1/2
v= 1/3
4)
dimensions du rectangle
on appelle u la largeur
on appelle v la longueur
2(u + v) = 60 => u +v =30
u × v = 221
ce qui ramène à l'équation :
x² -Sx +P = 0
x² - 30 x +221 = 0
Δ=16
√Δ=4
u=(30-4)/2=13
v=(30+4)/2=17
la largueur = 13
la longueur = 17
aire = 13×17=221
périmètre =(13+17)×2 = 60
