Rappel : ln(x) n'est défini que pour x>0 !!
1) Conditions imposées par le domaine de définition de la fonction ln :
-2 < x <1/2
3x+6 = 1-2x ⇔ 5x = -5 ⇔ x=-1 ⇒OK car condition initiale respectée
2) Conditions imposées par le domaine de définition de la fonction ln :
0.5 < x <1
1-x² = 2x-1 ⇔ x²+2x-2 = 0
delta = b²-4ac = 4 - 4*1*(-2) = 12 > 0
√delta = 2√3
Donc 2 solutions réelles :
x1 = (-2 + 2√3)/2 = -1 + √3 ⇒ Condition initiale non respectée, solution non valide
x2 = (-2 - 2√3)/2 = -1 - √3 ⇒ Condition initiale non respectée, solution non valide
Cette équation n'a donc aucune solution dans R
3) Conditions imposées par le domaine de définition de la fonction ln :
1 < x < 4
ln(√(2x-2)) = ln(4-x) - (1/2)ln(x) = ln(4-x) - ln(√x) = ln((4-x)/(√x))
Donc √(2x-2) = (4-x)/(√x) ⇔ √(2x²-2x) = (4-x) ⇔ | 2x²-2x | = 16 + x² - 8x
Or 1 < x < 4, donc 2x²-2x = 16 + x² - 8x ⇔ x² + 6x -16 = 0
delta = b²-4ac = 36 + 4*16 = 100 >0
√delta = 10
donc 2 solutions réelles :
x1 = (-6 + 10)/2 = 2 ⇒ Solution valide car condition initiale respectée
x2 = (-6 - 10)/2 = -8 ⇒ Solution invalide car condition initiale non respectée
4) Changement de variable [tex]X=e^{x}[/tex]
