Pour la parité, c'est facile, tu calcul f(-x). Si f(-x) = f(x) alors c'est une fonction paire; si f(-x) = -f(x) alors c'est une fonction impaire. Bien sur, il te faut utiliser les relations trigonométriques que tu as vu en cours pour retomber sur la forme dont tu as besoin.
D'une manière générale :
– Pour tout x∈ℝ : cos (–x) = cos x. Donc la fonction cosinus est paire.
– Pour tout x∈ℝ : sin (–x) = – sin x. Donc la fonction sinus est impaire
Par exemple :
[tex]cos( -2x) = cos(2x) [/tex]
donc c'est une fonction paire.
[tex]sin(-3x- \frac{ \pi }{5} ) = - sin(3x+ \frac{ \pi }{5} )[/tex]
donc c'est une fonction impaire
[tex]cos( -4 \pi x) = cos(4 \pi x) [/tex]
donc c'est une fonction paire
De façon générale :
f est périodique de période T si f(x+T) = f(x)
Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période T=2π .
– Pour tout x∈ℝ : cos( x+2π)=cos x .
– Pour tout x∈ℝ : sin(x+2π)=sin x
Donc
[tex]f(x)=cos(2x)=cos(2x+2 \pi ) = cos(2(x+ \pi ))=f(x+ \pi )[/tex]
donc f(x) est périodique de période π
[tex]f(x)=sin(3x+ \frac{ \pi }{5} )=sin(3x+ \frac{ \pi }{5} + 2 \pi ) = sin(3x+ \frac{ \pi }{5} + \frac{2 \pi*3}{3} ) \\ =sin(3(x+ \frac{2 \pi}{3} )+ \frac{ \pi }{5} ) = f(x+ \frac{2 \pi }{3} )[/tex]
Donc f(x) est périodique de période 2π/3
Je te laisse la dernière, même principe ...
