Bonjour WildAlice
Soit f une fonction définie sur R par f(x)= ax² + bx + c où a, b et c sont des réels avec a ≠ 0.
1) On suppose que b = 0 et c ≠ 0.
Si a et c sont de même signe, alors l'équation f(x) = 0 n'admet pas de solution.
VRAI
En effet, si b = 0, alors l'équation f(x) = 0 s'écrira :
ax² + c = 0
soit ax² = - c
1er cas : a et c sont positifs.
Alors : ax² > 0
- c < 0
Donc l'équation ax² = -c est impossible car les deux membres sont de signes contraires.
Par conséquent, l'équation f(x) = 0 n'admet pas de solution.
2ème cas : a et c sont négatifs.
Alors : ax² < 0
- c > 0
Donc l'équation ax² = -c est impossible car les deux membres sont de signes contraires.
Par conséquent, l'équation f(x) = 0 n'admet pas de solution.
2) On suppose que c = 0.
L'équation f(x) = 0 admet une seule solution.
FAUX : cette équation admet deux solutions distinctes si b ≠ 0.
En effet, si c = 0, l'équation f(x) = 0 s'écrira :
ax² + bx = 0
x(ax + b) = 0
x = 0 ou ax + b = 0
x = 0 ou ax = -b
x = 0 ou x = -b/a
Donc, si b ≠ 0, ces deux solutions sont distinctes.
Par conséquent,
si c = 0, l'équation f(x) = 0 peut admettre deux solutions distinctes.
3) On suppose que c < 0 et a > 0.
L'équation f(x) = 0 admet deux solutions distinctes.
VRAI
En effet, le discriminant de l'équation est Δ = b² - 4ac.
On sait que b² ≥ 0 (car un carré n'est jamais négatif)
ac < 0 (car a et c sont de signes contraires) ==> - 4ac > 0
D'où Δ = b² - 4ac > 0.
Dans ce cas, l'équation f(x) = 0 admettra deux solutions distinctes :
[tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
