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CARLISSIMA30VIZ
résolu

Bonjour j'ai cet exo à faire, j'aurai besoin d'un peu d'aide :

1.determiner un polynome P de degré 2 tel que:
P(x+1)-P(x)=2x et P(0)=0
nous savons qu'un polynôme du second degré est a[tex] x^{2} [/tex]+bx+c
donc p(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c et p(0)=c

2. en deduire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nul: S=2+4+...2n

3. en deduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls.

merci d'avance pour votre aide

Répondre :

Bonjour,

Calcul du polynôme:
P(x)=ax²+x+c
or P(0)=0==>a*0+b*0+c=0==>c=0

==>P(x)=ax²+bx

P(x+1)-P(x)=2x
=>2x=a(x+1)²+b(x+1)-(ax²+bx)=a(x²+2x+1)+bx+b-ax²-bx=2ax+a+b
==>a=1 et b=-1

P(x)=x²-x

P(1+1)-P(1)=P(2)-P(1)=2*1=2
P(2+1)-P(2)=P(3)-P(2)=2*2=4 
On remarque que P(3)-P(2)+P(2)-P(1)=P(3)-P(1)=2+4
P(3+1)-P(3)=P(4)-P(3)=2*3=6
donc P(4)-P(3)+P(3)-P(1)=P(4)-P(1)=2+4+6
.... on continue encore et encore...

P(n-1)-P(n-2)=2*(n-2)
P(n)-P(n-1)=2*(n-1)
P(n+1)-P(n)=2*n

On a donc:
P(n+1)-P(1)=2+4+6+...+2n
Or
P(n+1)=(n+1)²-(n+1)=(n+1)(n+1-1)=n(n+1)
et
P(1)=1²-1=1-1=0
P(n+1)-P(1)=n(n+1)=2+4+6+8+...+2n=2(1+2+3+...+n)
Donc 1+2+3+4+...+n=n*(n+1)/2








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