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résolu

Bonsoir,

Exercice: Soit f la fonction définie sur pour tout réel x par f(x)= 2x²-4x-1. La courbe représentative de la fonction f, notée Cf, est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1) a) Le point A (-1 5) appartient-il à la courbe Cf ?
b) Donner le tableau de variations de la fonction f.
c) La proposition "Si 0 ≤ x ≤ 3 alors f (0) ≤f (x) ≤ f(3) " est-elle vraie ou fausse ?

2) Soit g la fonction affine telle que g(-1)= 8 et g(3)= -4

a) Déterminer l'expression de g en fonction de x
b) Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné ci-dessous.
3 a) Montrer que pour tout réel x, f (x)- g (x)= 2*[(x-1/4)²-49/16].

b) Etudier le signe de f(x)-g(x).
c) En déduire les positions relatives de la parabole Cf et de la droite D.

Bonne soirée

Bonsoir Exercice Soit F La Fonction Définie Sur Pour Tout Réel X Par Fx 2x4x1 La Courbe Représentative De La Fonction F Notée Cf Est Tracée Cidessous Dans Le Pl class=

Répondre :

a) f (-1) = 2 (-1)²-4 (-1) -1= 2+4-1=5 doc A(-1,5) appartient bien à la courbe

b) Δ= b²-4ac ⇒ Δ= (-4)² -4(2)(-1)= 16+8 =24  delta est positif donc 2 solutions x1=-b-√Δ/2a     et x2= -b+√Δ/2a   donc la fontion est du signe de a à l'exterieur des racines x1 et x2  ( tu les calcules en verifiant les formules et tu fais le tableau)

c) f(0) = 2(0)²-4(0)-1= -1    et f(3)= 2(3)²-4(3)-1= 18-12-1=5  donc c'est vrai

2)une fonction affine est une fonction de la forme ax+b donc si

g(-1)=8  et g(3)=-4  alors    -a+b = 8 et 3a +b=-4   donc  b=8+a   dans la deuxieme (en fait c'est un systheme)  3a + 8+a =-4⇒4a =-12 ⇒a=-3  et b=8-3=5

g(x) = -3x + 5

3) f(x)-g(x) = 2x²-4x-1+3x-5 = 2x²-x-6 on utilise la forme canonique α=-b/2a et β=f-g(x) ⇒α= 1/4   β= 2(1/4)² -(1/4)-6=2/16- 4/16- 6(16)/16= -2/16-96/16= 98/16=DONC  a(x-α)²+β ⇒ 2(x +1/4)² - 49/8 (IL Y A SOIT UNE ERREUR DE MA PART soit une erreur d'énnoncé) j'opte pour la solution 2 (cad que j'ai raison) donc C demontré

voilà voir le cours pour le reste




KASER30VIZ
Soit f la fonction définie sur pour tout réel x par f(x)= 2x²-4x-1.
La courbe représentative de la fonction f est notée Cf

1) a) A (-1; 5) donc x = -1 et y = 5
calculons f(-1)
f(-1) = 2(-1)²-4*(-1) -1 = 5
Donc le point de coordonnée (-1; 5) appartient à Cf donc A appartient à Cf
b) f est décroissante sur ]-∞ ; 1], atteint un minimum de -3 en x=1 puis est croissante sur  [1; +∞[. Les limites en -∞ et +∞ sont respectivement  -∞ et +∞ .
c) La proposition est fausse. Elle n'aurait été vraie que si la fonction aurait été strictement croissante sur cet intervalle or elle est décroissante puis croissante ...
2) Soit g la fonction affine telle que g(-1)= 8 et g(3)= -4
a) On pose g(x) = ax+b, déterminons a et b.
On a un système de deux équations à deux inconnues :
g(-1)= 8
g(3)= -4

8 = b-a   ⇒ b = a+8
-4 = 3a+b   ⇒⇒ -4 = 3a+a+8 = 4a+8

4a+8 = -4 ⇔  4a = -12 ⇔ a = -12/4 = -3
D'où b = a+8 = 8-3 = 5
Donc g(x) = -3x+5

b)A toi de tracer la droite passant par les points (-1;8) et (3;-4)

3) a) Pour tout réel x, f(x) - g(x) = 2x²-4x-1 +3x - 5 = 2x²-x-6 = ax² + bx + c
avec a = 2, b= -1 et c= -6
Cherchons a mettre sous la forme canonique :
Soit la forme canonique du polynôme notée  a(x-α)² + β
On a α = -b/(2a) = 1/4
et β = -Δ/4a
avec Δ=b²-4ac = 1-4*2*(-6) = 49
Donc β = -49/8
Donc finalement f(x) - g(x) = a(x-α)² + β = 2(x-1/4)² - 49/8 = 2[(x-1/4)² - 49/16]
b) Signe de f(x) - g(x) :
f(x) - g(x) = 0 ⇔ (x-1/4)² = 49/16 
Donc soit   x-1/4 = 7/4  ⇔ x = 2
soit x-1/4 =  - 7/4  ⇔ x = -3/2
Or f(x) - g(x) ≥ 0 ⇔ (x-1/4)² ≥ 49/16 

Donc signe positif sur ]-∞;-3/2]  puis négatif sur [-3/2; 2] puis positif sur [2; +∞[

c)  f(x) - g(x) ≥ 0 ⇔  f(x) ≥ g(x)  donc Cf est au dessus de D sur  ]-∞;-3/2] et sur 
[2; +∞[

f(x) - g(x) ≤ 0 ⇔ f(x) ≤ g(x) donc Cf est en dessous de D sur  [-3/2; 2]

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