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Systèmes linéaires de deux équations à deux
inconnues
Activité 3 : Méthodes algébriques de résolution
1/ Résolution par combinaisons linéaires
On considère le système (S1) : ⎩⎨⎧2x – 3y= 5
5x + 4y = 2
a) Combien le système admet-il de solutions ?
b) Pour obtenir x, on cherche à « éliminer » y.
Multiplier la première équation par 4 et la deuxième équation par 3.
Ajouter les deux équations puis déterminer x.
c) Pour obtenir y, on cherche à « éliminer » x.
Par combien faut-il multiplier chacune des équations pour éliminer x ?
Déterminer y.

2/ Résolution par substitution
On considère le système (S2) : ⎩⎨⎧3x + y = 1
6x– 5y = –12
a) Combien le système admet-il de solutions ?
b) Exprimer y en fonction de x en utilisant la première équation.
c) Remplacer la valeur de y obtenue précédemment dans la deuxième équation.
d) Déterminer y puis x
3/ Résolution graphique
On considère le système (S3) : ⎩⎨⎧4x – y = 7
–2x + y = –3
a) Combien le système admet-il de solutions ?
b) Exprimer y en fonction de x dans chacune des équations.
c) Tracer sur l’écran de la calculatrice les droites correspondant aux deux
équations.
d) Lire les coordonnées
du point d’intersection.
e) Vérifier par un calcul
4/ Cas particuliers
On considère le système (S4) : ⎩⎨⎧4x – 6y = 9
6x – 9y = 2
a) Combien le système admet-il de solutions ?
b) Multiplier la première équation par 3 et la deuxième équation par 2.
c) Conclure.
On considère le système (S5) : ⎩⎨⎧2x + 6y = 8
3x + 9y = 12
a) Combien le système admet-il de solutions ?
b) Multiplier les deux équations par des nombres bien choisis afin de
rendre les coefficients de x
égaux.
c) Conclure.


Répondre :

1) S1 :
(1) 2x - 3y = 5
(2) 5x + 4y = 2

a) solutions :

2 solutions : x et y

b)
8x - 12y = 20
15x + 12y = 6

8x + 15x = 20 + 6
23x = 26
x = 26/23

c) il faut multiplier la première par 5 et la deuxième par (-2)

10x - 15y = 25
-10x - 8y = -4

On additionne les deux :
-15y - 8y = 25 - 4
-23y = 21
y = -21/23

2) par substitution :

S2 :
3x + y = 1
6x - 5y = 12

a) 2 solutions : x et y

b) y en fonction x :

y = 1 - 3x

c) remplacer y dans (2) :

6x - 5(1-3x) = 12
6x - 5 + 15x = 12
21x = 12 + 5
21x = 17
x = 17/21

d) y = 1 - 3 * 17/21
y = 1 - 17/7
y = 7/7 - 17/7
y = -10/7

3) graphique :

S3 :

4x - y = 7
-2x + y = -3

a) 2 solutions

b) y en fonction de x :

y = 4x - 7
y = 2x - 3

c) je te laisse le soin de le faire

d) idem que c)

e) par calcul :

4x - 7 = 2x - 3
4x - 2x = -3 + 7
2x = 4
x = 4/2
x = 2

y = 4 * 2 - 7
y = 8 - 7
y = 1

Le point d'intersection est :
{2;1}

4) cas particulier :

S4 :
4x - 6y = 9
6x - 9y = 2

a) pas de solution

b) multiplier la 1 par 3 et la 2 par 2 :

12x - 18y = 27
12x - 18y = 4

c) conclure

Aucune solution n'est possible

S5 :
2x + 6y = 8
3x + 9y = 12

a) toutes les solutions sont possibles

b) multiplier pour que les x soient égaux, la 1 par 3 et la 2 par 2 :

6x + 18y = 24
6x + 18y = 24

d) conclure

x = y = 1
y = 0 et x = 4
x = 0 et y = 4/3