Pour étudier le signe d'un polynôme du second degré de la forme ax²+bx+c ,
il faut (tout est dans ton cours !) commencer par déterminer les racines du polynôme : calculer Δ = b²-4ac
⇒ Si Δ<0 alors il n'y a pas de racines réelles
⇒ Si Δ = 0 alors il y a une racine double x = -b/(2a)
⇒ Si Δ>0 alors il y a 2 racines : x1 = (-b-√Δ)/(2a) et x2 = (-b+√Δ)/(2a)
Tu peut alors déterminer le signe du polynôme :
⇒ Si Δ<0 alors le polynôme est du signe de a sur R
⇒ Si Δ=0 alors le polynôme est du signe de a sur R mais s'annule en x = -b/(2a)
⇒ Si Δ>0 alors le polynôme est du signe de (-a) entre les deux racines x1 et x2 et est du signe de a en dehors des racines.
Je fais le premier pour que tu ais un aperçu de ce qu'il faut faire :
f(x) = 2x²+3x-9
Calcul du delta :
Δ = b²-4ac = 3² - 4*2*(-9) = 9 + 72 = 81 >0 donc il y a 2 racines réelles :
x1 = (-b-√Δ)/(2a) = (-3 - √81)/4 = -3
et x2 = (-b+√Δ)/(2a) = (-3 + √81)/4 = 3/2
⇒ On en déduit que f est strictement positive sur les intervalles ]-∞;-3[ et ]3/2;+∞[ et qu'elle est strictement négative sur ]-3; 3/2[.
⇒ f s'annule en x = -3 et x = 3/2
Pour h(x) :
h(x) = x - 1/x pour tout x ≠ 0
h(x)>0 ⇔ x - 1/x >0 ⇔ x > 1/x
pour tout x>0 : x > 1/x ⇔ x²>1 ⇔ x>1
pour tout x<0 : x > 1/x ⇔ x²<1 ⇔ x> -1
De la même façon :
h(x)<0 ⇔ x - 1/x <0 ⇔ x < 1/x
pour tout x>0 : x < 1/x ⇔ x²<1 ⇔ x<1
pour tout x<0 : x < 1/x ⇔ x²>1 ⇔ x< -1
⇒ Finalement h est négative sur les intervalles ]-∞;-1[ et ]0;1[ et h est positive sur ]-1;0[ et ]1;+∞[.
⇒ h s'annule en x = 1 et x = -1
Utilise le même principe pour déterminer le signe de g(x)
Si tu n'y arrives pas laisse un commentaire et je t'aiderai
