Pour faire l'exo 1, suffit de connaitre les identités remarquables suivantes :
(a+b)² = a²+b²+2ab
(a-b)² = a²+b²-2ab
a²-b² = (a+b)(a-b)
Ex1 :
A = (16x-49)²-(4x-25)²
on utilise l'identité n°3
A= (16x-49+4x-25)(16x-49-4x+25)
A= (20x - 74)(12x - 24)
B = x² - 2x + 1 +(3x-4)(x-1)
1 est racine évidente de x² - 2x + 1 , on peut donc le factoriser par (x-1) :
(x-1)(ax+b) = ax²+bx-ax-b = ax² + (b-a)x - b
par identification, b = -1 et a = 1
donc x² - 2x + 1 = (x-1)(ax+b) = (x-1)(x-1)
Donc B = (x-1)(x-1+3x-4) = (x-1)(4x-5)
C = (19x-17)²+(11-2x)(17-19x) = (19x-17)² - (11-2x)(19x-17)
C = (19x-17)(19x-17-11+2x) = (19x-17) (21x-28)
Exo2
a) On utilise la forme factorisée
A = 0 ⇔ (20x - 74)(12x - 24) = 0
Pour qu'un produit de facteurs soit nul il faut qu'au moins l'un des deux facteurs soit nul donc :
soit 20x - 74 = 0 ⇔ 20x = 74 ⇔ x = 74/20 = 37/10
soit 12x - 24 = 0 ⇔ 12x = 24 ⇔ x = 24/12 = 2
b) On cherche à résoudre 60x + 9x² + 100 = 0
calcul de Δ=b²-4ac = 3600 - 4*9*100 = 0
donc il y a une racine double :
x=-b/2a = -60/18 = -10/3
Donc 60x + 9x² + 100 = 0 ⇔ (x+10/3)² = 0 ⇔ x+10/3 = 0
⇔ x = -10/3
c) 5(3x-1) = x(3x-1) ⇔ 5(3x-1) - x(3x-1) = 0 ⇔ (5-x)(3x-1) = 0
donc soit 5-x = 0 ⇔ x=5
soit 3x-1 = 0 ⇔ x = 1/3
Exo 3 :
a) D = (2√5 - 3)(√3 + √5) - (√3 + √5)² = (2√5 - 3 - √3 - √5)(√3 + √5)
= (√5-√3-3)(√3+√5) = (√5-√3)(√3+√5)-3(√3+√5) = -(√3-√5)(√3+√5)-3(√3+√5)
= 2 - 3√3 - 3√5
E = (1-√2)(5√2 + 3) + (1-√2)² = (1-√2)(5√2 + 3 + 1 - √2)
= (1-√2)(4√2 + 4 ) = 4(1-√2)(1+√2) = 4(1-2) = -4
b) F = 3/(√5-2) = (3(√5+2))/((√5-2)(√5+2)) = (3(√5+2))/(5-4) = 3(√5+2)
= 3√5 + 6
G = x/(4-√7) = x(4+√7)/((4-√7)(4+√7) = -x(4+√7)/33 = -(4/33)x - (√7 / 33)x
