Salut!
1) ensemble de définition : c'est une fraction,
donc son dénominateur doit être différent de zéro : x² + 2x + 2 ≠ 0
Δ = 4 - 4*2 = - 4 < 0, pas de solution donc Df
= R (double barre, les réels)
Ou alors, tu vois que x² + 2x + 2 = (x+1)²+1 > 0
2) f ' (x) = {[2 (x²-1) + 2x (2x)](x²+2x+2) -
2x(x² - 1)(2x+2)}/ (x²+2x+2)²
Je calcule : [2 (x²-1) + 2x (2x)](x²+2x+2) = (2x² - 2+4x²)(x²+2x+2)
= (6x² - 2)(x²+2x+2) = 6x⁴ + 12 x³ +
12 x² - 2x² - 4x - 4
= 6 x⁴ + 12x³ + 10x² - 4x - 4
et : - 2x(x² - 1)(2x+2) = (-2x³ +
2x)(2x+2) = - 4x⁴ - 4x³ + 4x² + 4x
donc le numérateur de f'(x) = 2x⁴ + 8x³ + 14x² -4
et f'(x) = 2(x⁴ + 4x³ + 7x² - 2) / (x²+2x+2)²
du signe de x⁴ + 4x³ + 7x² - 2
Je n’y arrive pas, je vais essayer autre chose.
Je pose g(x) = 2x(x²-1) = 2x(x-1)(x+1)
Et h(x) = x² + 2x + 2 = (x+1)²+1 > 0 donc f(x) est du signe de g(x) et devrait avoir le même sens de variation.
Etudions alors g(x)
g’(x) = 2(x²-1)+2x(2x) = 2x² - 2 + 4x² = 6x² - 2 = 2(3x² - 1)
= 2(x√3 – 1)(x√3+1)
g’(x)=0 ⇔ x = -1/√3 ou x = +1/√3
Tableau :
x | -∞ -1/√3 -1/√3 +∞
g'(x) | + 0 - 0 +
f(x) | croissante A décroissante B croissante
(avec f(x) = 0 pour x = -1; 0 et +1)
Tu mets un tableau de valeurs pour tracer ta courbe Cf;
La question est certainement graphique et non calculatoire, d'après la façon dont elle est posée, donc à quel moment la courbe est au-dessus et à quel moment elle est au-dessous.
3) La question est douteuse, parce que f(x) = (2x³ - 2x)/(x²+2x+2)
Je factorise x² en haut et en bas, juste pour voir :
f(x) = (2x-2/x)/(1+2/x+2/x²) donc si par exemple x = - 100
f(-100) ≈ -200 < -2
Maintenant, quand on s'éloigne de x = -∞ ou x=+∞, on a vu que la courbe était comprise entre deux valeurs A et B, qu'on peut calculer :
A = f(-1/√3) = (4/3√3)/[(1/3) - (2/√3)+2] = 4/(√3 - 6 +6√3) = 4/(7√3-6)
A = 4(7√3+6)/(7√3-6)(7√3+6) = 4(7√3+6)/(49*3 - 36) = 4(7√3+6)/111
A ≈ 72,5/111 ≈ 0,65
et B = f(1/√3) = 4(7√3 - 6) / (-111) ≈ -0,22 donc tout ceci n'a aucun sens.
Bon, je crois que tu as une erreur d'énoncé.