Bonjour Haruki
A (-1;1) ; B (2; -2) ; C (2;4)
1.Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.
[tex]AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\\\AB=\sqrt{(2+1)^2+(-2-1)^2}\\\\AB=\sqrt{3^2+(-3)^2}\\\\AB=\sqrt{9+9}\\\\\boxed{AB=\sqrt{18}=3\sqrt{2}}[/tex]
[tex]AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\\\\AC=\sqrt{(2+1)^2+(4-1)^2}\\\\AC=\sqrt{3^2+3^2}\\\\AC=\sqrt{9+9}\\\\\boxed{AC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}}[/tex]
[tex]BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\\\\BC=\sqrt{(2-2)^2+(-2-4)^2}\\\\BC=\sqrt{0^2+(-6)^2}\\\\BC=\sqrt{36}\\\\\boxed{BC=6}[/tex]
Le triangle ABC est isocèle en A car AB = AC = 3√2.
Vérifions la relation de Pythagore dans le cas d'un triangle rectangle :
[tex]AB^2+AC^2=(\sqrt{18})^2+(\sqrt{18})^2\\\\AB^2+AC^2=18+18\\\\AB^2+AC^2=36\\\\AB^2+AC^2=6^2\\\\\boxed{AB^2+AC^2=BC^2}[/tex]
Selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle et [BC] est l'hypoténuse.
Ce triangle ABC est donc rectangle en A.
Par conséquent,
le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.
2. En déduire la mesure de l'angle ABC
[tex]\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{CAB}=180^o\\\\\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+90^o=180^o\\\\\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o-90^o\\\\\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\\\\Or\ \ \widehat{ACB}+\widehat{ABC}\\\\Donc\ \widehat{ABC}+\widehat{ABC}=90^o\\\\2\times\widehat{ABC}=90^o\\\\\boxed{\widehat{ABC}=45^o}[/tex]
3. Déterminer les coordonnées du symétrique B' du point B par rapport à A.
Si B' est le symétrique du point B par rapport à A, alors A est le milieu de [BB']
[tex](\dfrac{x_B+x_{B'}}{2};\dfrac{y_B+y_{B'}}{2})=(x_A;y_A)=\\\\(\dfrac{2+x_{B'}}{2};\dfrac{-2+y_{B'}}{2})=(-1;1)\\\\\left\{\begin{matrix}\dfrac{2+x_{B'}}{2}=-1\\\\\dfrac{-2+y_{B'}}{2}=1\\\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}2+x_{B'}=-2\\\\-2+y_{B'}=2\\\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_{B'}=-2-2\\\\y_{B'}=2+2\\\end{matrix}\right.\\\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}x_{B'}=-4\\\\y_{B'}=4\\\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées de B' sont (-4 ; 4)
