1) (m+3)x-(2-m)y+m = 0 ⇔ (m+3)x+m = (2-m)y
⇔ [(m+3)x+m] / (2-m) = y pour tout m ≠ 2
⇔ y = ((m+3)/(2-m))x + m/(2-m)
Ce qui correspond à l'équation d'une fonction affine y = ax+b représentée par une droite dans le plan cartésien.
Dans le cas où m = 2, on a 5x + 2 = 0 ⇔ x = -2/5 ce qui correspond à une droite verticale en x = -2/5.
Finalement, pour tout réel m, l'ensemble dm est une droite.
2) On pose pour m = a une première droite de l'ensemble dm, notée da (a est un réel).
On pose pour m = b une seconde droite de l'ensemble dm, notée db (b est un réel différent de a).
L'intersection des deux droites est déterminée en posant l'égalité entre les équations des deux droites, on a donc :
((a+3)/(2-a))x + a/(2-a) = ((b+3)/(2-b))x + b/(2-b)
⇔ ( (a+3)/(2-a) - (b+3)/(2-b) )x = b/(2-b) - a/(2-a)
après simplification , ∀ (a,b)∈ IR :
⇔ 5(a-b)x = -2(a-b)
donc ⇔ 5x = -2 ⇔ x = -2/5
On peut trouver y :
y = [(m+3)x+m] / (2-m)
⇔ y = [(m+3)(-2/5)+m] / (2-m)
⇔ y = (-3/5)((2-m)/(2-m))
⇔ y = -3/5
Donc, ∀ m ∈ IR , les droites dm sont sécantes au point de coordonnées :
(-2/5 ; -3/5)
3) dm passe par le point A(-1;1) si et seulement si :
-(m+3)-(2-m)+m=0 ⇔ -m - 3 - 2 + m + m = 0
⇔ m = 5
Donc d₅ passe par le point A(-1;1)
4) Une droite est parallèle à la droite d'équation y = -x+1 si et seulement si les deux droites on le même coefficient directeur, c'est-à-dire -1, d'ou l'équation suivante :
(m+3)/(2-m) = -1 ⇔ m+3 = m -2 ⇔ 3 = -2 OR 3≠ -2 ⇒ absurdité donc il n'existe pas de droite dm parallèle à la droite d'équation y = -x+1
