Ex 1 :
On appelle X un des côtés du carré ABCD et Y un des côtés du carré BEFG.
1) calculons l'aire totale :A(x)= x² + y²
2) calculons le périmètre total:P(x) = 4x + 4y - 2y = 4x + 2y
3) on peut donc résoudre le système d'équations suivant :
x² + y² = 218004
x + 2y = 660
La deuxième équation nous donne : y = 330 - 2x
En remplaçant dans la première équation, on obtient donc :
⇔ x² + (330-2x)² = 21800
⇔ x² + 108900 + 4x² - 1320x = 21800
⇔ 5x² - 1320x + 87100 = 0
Calcul du discriminant :
Δ = b² - 4ac
Δ = 1742400 - 1742000
Δ = 400 > 0 donc 2 racines réelles :
x₁ = 130 et x₂ = 134
En remplaçant les deux solutions possibles dans l'équation 1, on trouve les couples de valeurs (x,y) possibles :
x₁ = 130 ⇒ y₁ = 330 - 2x₁ = 70
x₂ = 134 ⇒ y₂ = 330 - 2x₂ = 62
Donc les couples possibles sont :
S = {(130 ; 70) , (134 ; 62)}
⇒ On vérifie bien que les deux couples résolvent le système posé
Ex 2 :
1) ⇒ f est définie sur IR si sont numérateur est défini sur IR, son dénominateur est défini sur IR et que ∀ x ∈ IR, le dénominateur est non nul.
⇒ Le numérateur est une fonction affine donc est définie sur IR
⇒ Le dénominateur est un trinôme de degré deux, il est donc défini sur IR
⇒ Le minimum du dénominateur est atteint pour x = -b/(2a) = -1/4
en x = -1/4, le dénominateur vaut 1,375 > 0
Donc le dénominateur est positif non nul ∀ x ∈ IR
⇒ Les trois conditions sont remplies donc f est définie ∀ x ∈ IR
2) ⇒ On vérifie que f(x) < 4 sur IR
[tex]\frac{-5x+1}{2 x^{2} +x+1} \ \textless \ 4 \\ -5x+1\ \textless \ 8 x^{2} +4x+4 \\ 8 x^{2} +9x+3 \ \textgreater \ 0[/tex]
Le minimum de 8x²+9x+3 est atteint pour x = -b/(2a) = -9/16 et vaut environ 0,47 > 0.
Donc l'inéquation est vraie sur IR, donc f(x) < 4 ∀ x ∈ IR
⇒ On vérifie que f(x)≥ -1 sur IR
[tex]\frac{-5x+1}{2 x^{2} +x+1} \geq -1 \\
-5x+1 \geq -2 x^{2} -x-1 \\
2 x^{2} -4x+2 \geq 0[/tex]
Le minimum de 2x²-4x+2 est atteint pour x = -b/2a = 4/4 = 1
et vaut 2-4+2 = 0
Donc l'inéquation est vraie sur IR, donc f(x) ≥ -1 ∀ x ∈ IR
