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Bonjour
Melizoou
On considère la fonction g définie sur R par g(x) = 4X^3 - 5X^2 + 6X + 1
1)a) Détermine la fonction dérivée g' de la fonction g.
La dérivée g' est définie par g'(x) = 12x² - 10x + 6
b) En étudiant le signe de la fonction dérivée, dresse le tableau de variation de la fonction g.
Calculons les éventuelles racines de la dérivée g'.
g'(x) = 0
12x² - 10x + 6 = 0
Δ = (-10)² - 4 * 12 * 6 = 100 - 288 = -188 < 0
Pas de racine.
Par conséquent, g'(x) > 0 pour tout x réel ==> la fonction g est strictement croissante sur R.
Voici le tableau de variation de la fonction g :
[tex]\begin{array}{|c|cccc|} x&-\infty&&+\infty&\\g'(x)&&+&&\\g(x)&&\nearrow&&\\ \end{array}[/tex]
2) Déterminé l'équation de là tangente à la courbe représentant g au point d'abscisse -1.
Cette équation est de la forme : y - g(-1) = g'(-1) (x + 1)
Or g(-1) = 4*(-1)^3 - 5*(-1)^2 + 6*(-1) + 1 = -4 - 5 - 6 + 1 = -14
g'(-1) = 12*(-1)² - 10*(-1) + 6 = 12 + 10 + 6 = 28
L'équation de la tangente est donc :
y + 14 = 28(x + 1)
y + 14 = 28x + 28
y = 28x + 28 - 14
y = 28x + 14
3) Détermine les antécédents de 1 par la fonction g.
Il faut résoudre l'équation g(x) = 1
4x^3 - 5x^2 + 6x + 1 = 1
4x^3 - 5x^2 + 6x = 1 - 14x^3 - 5x^2 + 6x = 0
x(4x² - 5x + 6) = 0
x = 0 ou 4x² - 5x + 6 = 0
Résolvons l'équation 4x² - 5x + 6 = 0
Δ = (-5)² - 4 * 4 * 6 = 25 - 96 = -71 < 0
L'équation 4x² - 5x + 6 = 0 n'admet donc pas de solution.
Par conséquent, l'antécédent de 1 par la fonction g est 0
On considère la fonction g définie sur R par g(x) = 4X^3 - 5X^2 + 6X + 1
1)a) Détermine la fonction dérivée g' de la fonction g.
La dérivée g' est définie par g'(x) = 12x² - 10x + 6
b) En étudiant le signe de la fonction dérivée, dresse le tableau de variation de la fonction g.
Calculons les éventuelles racines de la dérivée g'.
g'(x) = 0
12x² - 10x + 6 = 0
Δ = (-10)² - 4 * 12 * 6 = 100 - 288 = -188 < 0
Pas de racine.
Par conséquent, g'(x) > 0 pour tout x réel ==> la fonction g est strictement croissante sur R.
Voici le tableau de variation de la fonction g :
[tex]\begin{array}{|c|cccc|} x&-\infty&&+\infty&\\g'(x)&&+&&\\g(x)&&\nearrow&&\\ \end{array}[/tex]
2) Déterminé l'équation de là tangente à la courbe représentant g au point d'abscisse -1.
Cette équation est de la forme : y - g(-1) = g'(-1) (x + 1)
Or g(-1) = 4*(-1)^3 - 5*(-1)^2 + 6*(-1) + 1 = -4 - 5 - 6 + 1 = -14
g'(-1) = 12*(-1)² - 10*(-1) + 6 = 12 + 10 + 6 = 28
L'équation de la tangente est donc :
y + 14 = 28(x + 1)
y + 14 = 28x + 28
y = 28x + 28 - 14
y = 28x + 14
3) Détermine les antécédents de 1 par la fonction g.
Il faut résoudre l'équation g(x) = 1
4x^3 - 5x^2 + 6x + 1 = 1
4x^3 - 5x^2 + 6x = 1 - 14x^3 - 5x^2 + 6x = 0
x(4x² - 5x + 6) = 0
x = 0 ou 4x² - 5x + 6 = 0
Résolvons l'équation 4x² - 5x + 6 = 0
Δ = (-5)² - 4 * 4 * 6 = 25 - 96 = -71 < 0
L'équation 4x² - 5x + 6 = 0 n'admet donc pas de solution.
Par conséquent, l'antécédent de 1 par la fonction g est 0
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