Bonsoir,
Voici la démonstration de M.Glapion (ilemaths).
[tex]Soient\ a,b,c\ les\ 3\ nombres.\\
abc=1\\S=a+b+c\\
\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c} =a+b+c\\
==\ \textgreater \ \dfrac{bc+ac+ab}{abc} =S\\
==\ \textgreater \ ab+ac+bc=S\\
On\ imagine\ que \ a,b,c\ sont\ solutions\ d'une\ \'equation.\\
(x-a)(x-b)(x-c)=0\\
==\textgreater\ (x^2-ax-bx+ab)(x-c)=0\\
==\textgreater\ x^3-Sx^2+Sx-1=0\\
==\textgreater\ x^3-1 -Sx(x-1)=0\\
==\textgreater\ (x-1)(x^2+x+1) -Sx(x-1)=0\\
==\textgreater\ (x-1)(x^2+(1-S)x+1)=0\\
[/tex]
L'un des nombres vaut 1.
