Ex 1 :
Développons en utilisant les identités remarquables :
[tex]A = ( \sqrt{2} + \frac{1}{ \sqrt{2} } )^{2} \\
A = 2 + \frac{1}{2} + 2 \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } \\
A = 4 + 1/2 = 4,5[/tex]
Donc A est un nombre décimal.
[tex]B = (5 \sqrt{3} - \frac{6}{ \sqrt{3} } )^{2} \\
B = 75 + 12 - 2*(5 \sqrt{3} )*(\frac{6}{ \sqrt{3} }) \\
B = 87 - 2*5*6 = 87-60= 27[/tex]
Donc B est un nombre entier naturel.
Ex 2 :
1) f et g sont définies ∀ x ∈ [-4;4]
2) voir pièce-jointe
3)
a) Les antécédents de 3 par f sont x=0 et x=3
b) -5/2 n'a aucun antécédent par f
c) Les antécédents de 1 par g sont x= -1 , x=1 et x=4
d) Les points d'intersection entre les courbes Cf et Cg ont pour abscisses
x = -1 et x = 3.
4) g est décroissante sur [-4;0] u [3;4]
5) f est strictement positive sur ]-2;4]
Ex 3 :
1) Périmètre = P(x) = 8x + 240
2) x = 10 m
P(10) = 8*10 + 240 = 320 m
3) P(x) = 280 ⇔ 8x + 240 = 280 ⇔ 8x = 40 ⇔ x = 5
4) Aire allée = aire totale - aire jardin donc
A(x) = (70+2x)(50 + 2x) - 50*70 = (3500 + 140x + 100x + 4x²) - 3500
A(x) = 4x²+240x
5)
a) D'une part :
A(x) = 625 ⇔ 4x²+240x = 625 ⇔ 4x²+240x - 625 = 0
D'autre part :
(2x - 5)(2x +125) = 4x² + 250x - 10x - 625 = 4x² + 240x - 625
Donc A(x) = 625 ⇔ (2x - 5)(2x +125) = 0
b) Soit (2x-5) = 0 ⇔ 2x = 5 ⇔ x = 5/2
Soit (2x+125) = 0 ⇔ 2x = -125 ⇔ x = -125/2 ⇒ valeur à rejeter car une longueur ne peut être négative !
Donc l'unique solution est x = 5/2 = 2.5 m
