Bonjour
1)
limite de f(x) en -∞= +∞
limite de f(x) en +∞= -∞
2)
limite de f(x) en 2 - = +∞ (x<2)
limite de f(x) en 2+ = -∞ ( x>2)
en x= 2 la courbe admet une asymptote verticale
d'équation x = 2
3)
a)
f(x) - (-2x +3) =
( -2x² +7x -8 ) / (x-2) - (-2x +3)
= -2/(x-2)
b)
d(x) est l' écart
vertical algébrique entre
la courbe et son asymptote
selon que cette quantité soit positive ou négative ( c'est à dire au dessus ou en dessous l'axe des abscisses) cela va nous permettre de déterminer la position relative de Cf par rapport à son asymptote.
c)
limite de d(x) en +∞= 0
( se comporte comme la fonction de référence 1/x)
on peut affirmer que la droite D d’équation y = -2x + 3
est asymptote à Cf puisqu’à l’infini, la fonction (-2 / (x + 2)) tend vers zéro.
d)
signe de d(x)
x-2 >0 => x> 2
donc
-2/(x-2) >0 quand x < 2
et
-2/(x-2) <0 quand x >2
on peut en déduire que :
sur ]-∞;2[
-2/(x-2) >0
donc f(x) > -2x + 3
et graphiquement ça se traduit par :
Cf est au-dessus de l’asymptote D sur ]-∞;2[
Inversement
sur ]2;+∞[
Cf est au-dessous de l’asymptote D
4)
dérivée :
on utilise la formule u'v-uv' /v²
u= -2x²+7x-8
u'= -4x+7
v=x-2
v'=1
=(-2x²+8x-6) /(x-2)²
= -2( x²-4x+3) / (x-2)²
signe de la dérivée
voir tableau de variations joint
5)
équation de la tangente en x=3
formule
f(xo) + f'(xo) (x-xo)
f(3) + f'(3) (x-3)
f(3) = -5
f '(3) = 0
-5 + 0(x-3) = -5
donc en définitive
y = -5
c'est une tangente horizontale
6)
voir graphique
2 tangentes horizontales (D) et (T)
d'équation respectives
yD =3
yT= -5
