Bonsoir,
pour le 1. :
Soit 2 le nombre de départ.
2+6=8
8*2=16
16+9=25
25=5²
2. Soit 5 le nombre de départ.
5+6=11
11*5=55
55+9=64
64=8²
3. L'image de 2 par f est 5². On peut également l'écrire : f(2)=5²=25.
f(5)=8²=64.
4. On va appliquer chaque étape du programme au nombre x.
Etape 1 : Soit x le nombre de départ.
Etape 2 : x + 6
Etape 3 : (x+6)x
Etape 4 : (x+6)x+9
On développe (x+6)x+9 :
(x+6)x+9 = x²+6x+9
On remarque que cette expression vérifie (a+b)²=a²+2ab+b²
On peut donc la factoriser en utilisant cette identité remarquable :
x²+6x+9 = (x+3)²
5. La première ligne nous donne les antécédents. Il faut calculer l'image de ces antécédents par f.
f(2)=25
f(5)=64
f(0)=9
f(-4)=16 (On rappelle que le signe - est inclus dans la parenthèse donc son carré est positif).
f(-8)=64
f(2,5)=30,25
6. Il faut résoudre l'équation (x+3)²=1 :
Pour se faire, on passe le 1 dans le membre de gauche.
(x+3)²-1=0
1=1², on peut donc écrire (x+3)²-1²=0
Ce qui nous permet d'utiliser cette identité remarquable : a²-b²=(a+b)(a-b).
On a donc (x+3+1)(x+3-1)=0
(x+4)(x+2)=0
Un produit de facteur est nul seulement et seulement si l'un des facteurs est nul.
x+4=0
x=-4
ou
x+2=0
x=-2
Donc les deux antécédents de 1 par f sont -4 et -2.
On aurait aussi pu les calculer mentalement en se disant que les nombres qui, lorsqu'on les élève au carré, donnent 1 sont 1 et -1. Donc les solutions sont -4 et -2 car -4+3=-1 et -2+3=1.
7. C'est la même question formulée différemment. On demande de trouver les antécédents de 81.
(x+3)²=81
(x+3)²-81=0
(x+3)²-9²=0
(x+3+9)(x+3-9)=0
(x+12)(x-6)=0
x=-12 ou x=6.
Donc les antécédents de 81 par f sont -12 et 6.
