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TIBBEYVIZ
résolu

Bonjour, problème de math de Terminal S : z appartient à C(le C qui englobe R-Q-D-N-Z) et Z=(3z+1)/(z-2)

Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble E nombres complexes z pour lequel Z est un nombre réel

1) Avec les parties réelle et imaginaire

a.On pose z=x+iy et Z= X+iY avec x,y,X,Y réels
Exprimer X et Y en fonction de x et y

b.En déduire l'ensemble E

2)Avec le conjugué

a.Démontrer que : Z=Z(barre) équivalent à Z réel

b.En déduire une nouvelle démonstration du résultat de la question 1.b

Merci d'avance pour votre aide

Répondre :

LAURANCEVIZ
Z=(3z+1)/(z-2)Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble E nombres complexes z pour lequel Z est un nombre réel

1) Avec les parties réelle et imaginaire

a.On pose z=x+iy et Z= X+iY avec x,y,X,Y réels
Exprimer X et Y en fonction de x et y
Z=[(3x+1 +3iy)/(x-2 -iy ) ]  / (( x-2)² + y² ) = X + iY 
X =[(3x+1)(x-2) -3i²y² =  (3x² -5x -2+3y² )  / (( x-2)² + y² )
Y = [ -y(3x+1) + 3y(x-2) ]   / (( x-2)² + y² )  =  -7y / (( x-2)² + y² )
b.En déduire l'ensemble E des nombres complexes z pour lequel Z est un nombre réel
Z réel  si et seulement si   Y = 0    donc  -7y= 0     y = 0 
Z est un nombre réel si et seulement si  z est réel 
2)Avec le conjugué

a.Démontrer que : Z=Z(barre) équivalent à Z réel  (cours) 

b.En déduire une nouvelle démonstration du résultat de la question 1.b
Z est un nombre réel  équivalent à  Z=Z(barre) 

(3z+1)/(z-2) = ( 3zb  + 1 )  / ( zb  - 2 )   équivalent à  
(3z +1)(zb - 2)=  (3zb + 1)(z -2) 
3z*zb  - 6z  + zb   - 2 =  3z*zb - 6 zb  + 1z  - 2
- 6z  + 1zb   = - 6 zb  + 1z
7 zb= 7z  
zb = z  équivalent à  z réel 
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