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résolu

Bonsoir, pourriez-vous m'aider sur un devoir sur le second degré et fonctions svp?

Partie A:

On considère la fonction f définie sur [0 ; 4] par:
f(x)=x² si 0≤x<1
f(x)= -x²+4x-2 si 1≤ x≤4

On admet que f est continue sur [0 ;4 ].
1) Calculer f'(x) et déterminer son signe:
a) pour x ∈ [0 ; 1 [
b) pour x ∈ [1 ; 4]
c) en déduire le tableau de variations de f sur [0 ; 4].

2) a) Démontrer que l'équation f(x)=0 admet deux solutions: 0 et a sur [0 ; 4]
b) Calculer la valeur exacte de a
c)Etablir le tableau de signe de la fonction f



Partie B:

Le coût total de production, en euro, est donné en fonction de la longueur x,en km, par la formule:

C(x)= 15x³-120x²+500x+750, où x ∈ [0 ; 10]

Le coût marginal Cm de production est l'accroissement de coût résultant de la production d'une unité supplémentaire. Il peut être assimilé à la dérivée du coût total. Ainsi, Cm(x) = C'(x).

1) Calculer Cm(x) et étudier les variations de Cm sur l'intervalle [0 ; 10].
2) En déduire la convexité de la fonction coût sur [0 ; 10].
3) Sur quel intervalle la croissance du coût est-elle accélérée? Puis ralentie?

Merci d'avance à ceux qui pourront aider!









Répondre :

Bonjour  Chloé331

Partie A

[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2\ si\ 0\le x\ \textless \ 1\\-x^2+4x-2\ si\ 1\le x\le4\end{matrix}\right.[/tex]

a) Si x ∈ [0 ; 1[, alors f '(x) = 2x

x ∈ [0 ; 1[ ==> x ≥ 0 ==> 2x ≥ 0

D'où pour x ∈ [0 ; 1[, f '(x) ≥ 0

b) Si x ∈ [1 ; 4], alors f '(x) = -2x + 4

-2x + 4 = 0 <==> -2x = -4 <==> x = -4/(-2) <==> x = 2
-2x + 4 ≥ 0 <==> -2x ≥ -4 <==> x ≤ -4/(-2) <==> x ≤ 2
-2x + 4 ≤ 0 <==> -2x ≤ -4 <==> x ≥ -4/(-2) <==> x ≥ 2

D'où pour x ∈ [1 ; 4],

f'(x) ≥ 0 pour x ∈ [1 ; 2]
f'(x) ≤ 0 pour x ∈ [2 ; 4]

c) Tableau de variations de f sur [0 ; 4].

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&1&&2&&4\\f'(x)&0&+&+&+&0&-&\\f(x)&0&\nearrow&1&\nearrow&2&\searrow&-2\\ \end{array}[/tex]

2a) L'équation f(x) = 0 admet deux solutions.

si x ∈ [0 ; 1[, alors f(x) = 0 <==> x²=0 <==> x = 0

Donc une solution de l'équation est x = 0.

Sur l'intervalle [1 ; 4], la fonction f est continue.
f(1) = 1 > 0
f(4) = -2 < 0

Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel a ∈ [1 ; 4] tel que f(a) = 0

D'où, l'équation f(x) = 0 admet une solution a dans l'intervalle [1 ; 4].

Par conséquent, 
l'équation f(x)=0 admet deux solutions: 0 et a sur [0 ; 4].

b) Valeur exacte de a.

[tex]-x^2+4x-2=0\\\\\Delta=4^2-4\times(-1)\times(-2)=16-8=8\\\\x_1=\dfrac{-4-\sqrt{8}}{2\times(-1)}=\dfrac{-4-\sqrt{4\times2}}{-2}=\dfrac{-4-2\sqrt{2}}{-2}=\dfrac{-2(2+\sqrt{2})}{-2}=2+\sqrt{2}\\\\x_2=\dfrac{-4+\sqrt{8}}{2\times(-1)}=\dfrac{-4+\sqrt{4\times2}}{-2}=\dfrac{-4+2\sqrt{2}}{-2}=\dfrac{-2(2-\sqrt{2})}{-2}=2-\sqrt{2}[/tex]

Or 

[tex]2+\sqrt{2}\approx3,414\in[1;4]\\\\2-\sqrt{2}\approx0,586\notin[1;4][/tex]

Par conséquent, sachant que a ∈ [1 ; 4], la valeur exacte de a est  [tex]\boxed{2+\sqrt{2}}[/tex]

c) Tableau de signe de la fonction f

[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&2+\sqrt{2}&&4\\f(x)&0&+&0&-&-\\ \end{array}[/tex]

Partie B:

C(x)= 15x³-120x²+500x+750, où x ∈ [0 ; 10]

[tex]a)\ C_m(x)=C'(x)\\\\C_m(x)=(15x^3-120x^2+500x+750)'\\\\C_m(x)=45x^2-240x+500\\\\C_m'(x)=(45x^2-240x+500)'\\\\C_m'(x)=90x-240\\\\C_m'(x)=0\Longleftrightarrow90x-240=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{240}{90}=\dfrac{8}{3}\approx2,7\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&\frac{8}{3}&&10\\C_m'(x)&&-&0&+&\\C_m(x)&500&\searrow&180&\nearrow2600&\\ \end{array}[/tex]

Par conséquent, 

la fonction Cm est décroissante sur l'intervalle [0 : 8/3]
et est croissante sur l'intervalle [8/3 ; 10]

2) Etudier la convexité de la fonction coût C revient à étudier le signe de la dérivée seconde C''.
Cette dérivée seconde correspond à C'm(x) dont le signe a été étudié.

D'où 

C''(x) < 0 si x ∈ [0 ; 8/3]
C''(x) > 0 si x ∈ [8/3 ; 10]

Par conséquent, 
la fonction C est concave sur l'intervalle [0 ; 8/3] et est convexe sur l'intervalle [8/3 ; 10]

Il y a donc un point d'inflexion (8/3 ; C(8/3)), soit le point (8/3 ; 13630/9)

3) Nous en déduisons que la croissance du coût de production C ralentit avant le point d'inflexion et que ce coût s'accélère après le point d'inflexion.

Sur l'intervalle [0 ; 8/3], la croissance du coût est ralentie.
Sur l'intervalle [8/3 ; 10], la croissance du coût est accélérée.
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