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Bonjour j'aurais besoin d'aide pour cette exercice de dm s'il vous plaît
1) Sois la fonction f définie sur R par:
f(x)= (x-2)*(x+1)*(x+3) FORME A
1)a Démontrer que, partout réel x, on a:
f(x)=x³ + 2x²-5x-6 FORME B
b) Démontrer que,pour tout réel x , on a:
f(x)= (x+1)³-(x+1)*(x+7) FORME C
2) Dans chacune des questions suivantes, indiquer l'expression de f(x) utilisés (FORME A,B ou C ci -dessous ) , puis répondre a la question:
a) Calculer l'image de (-3) par f
b) Résoudre f(x) = 0
c) Résoudre f(x)= -5x-6
d)Résoudre f(x) = -(x²+8x+7)


Répondre :

Hello !

1)
a) (x-2)(x+1)(x+3)
 = (x-2)(x²+3x+x+3)
 = (x-2)(x²+4x+3)
 = x³+4x²+3x-2x²-8x-6
 = x³+2x²-5x-6

b) (x+1)³ - (x+1)(x+7)
 = (x+1)(x+1)² - (x+1)(x+7)
 = (x+1)(x²+2x+1) - (x²+7x+x+7)
 = x³+2x²+x+x²+2x+1 - (x²+8x+7)
 = x³+3x²+x+2x+1-x²-8x-7
 = x³+2x²-5x-6
 = f(x)

2)
a) pour calculer f(-3), on va utiliser la forme f(x)=(x-2)(x+1)(x+3) car, pour qu'un produit de facteurs soit nul, il suffit qu'un des facteurs soit nul.
    si x=-3 alors x+3=0 et donc f(x)=0
    donc f(-3) = 0

b) pour résoudre f(x)=0, on va utiliser aussi la forme f(x)=(x-2)(x+1)(x+3),
    car, pour qu'un produit de facteurs soit nul, il suffit qu'un des facteurs soit
    nul.
         f(x) = 0
   ⇒ (x-2)(x+1)(x+3) = 0
   ⇒ x-2=0  ou x+1=0  ou x+3=0
   ⇒ x = 2   ou  x = -1  ou  x = -3

c) Pour résoudre f(x)= -5x-6, on va utiliser la forme f(x)=x³ + 2x²-5x-6
         f(x) = -5x-6
   ⇒  x³ + 2x²-5x-6 = -5x - 6
   ⇒ x³ + 2x² - 5x + 5x - 6 + 6 = 0
   ⇒ x³ + 2x² = 0
   ⇒ x²(x + 2) = 0
   ⇒ x²=0  ou  x+2=0
   ⇒ x=0  ou x=-2

d) Pour résoudre f(x) = -(x²+8x+7), on va utiliser la forme 
    f(x)=(x+1)³-(x+1)*(x+7)   car  (x+1)(x+7) = x²+7x+x+7 = x²+8x+7
  
         f(x) = -(x²+8x+7)
    ⇒ (x+1)³-(x+1)*(x+7) = -(x²+8x+7)
    ⇒ (x+1)³-(x²+8x+7) = -(x²+8x+7)
    ⇒ (x+1)³-(x²+8x+7) + (x²+8x+7) = 0
    ⇒ (x+1)³ = 0
    ⇒ x+1 = 0
    ⇒  x = -1