Ex1 :
Pour cela, on liste tous les diviseurs de chacun des nombres et on en déduit les diviseurs communs :
a) 42 a pour diviseurs : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
65 a pour diviseurs : 1, 5, 13, 65
Ils ont donc pour diviseurs communs 1
b) 100 a pour diviseurs : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
75 a pour diviseurs : 1, 3, 5, 15, 25, 75
Ils ont donc pour diviseurs communs 1, 5 et 25
c) 50 a pour diviseurs : 1, 2, 5, 10, 25, 50
60 a pour diviseurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
80 a pour diviseurs : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
Ils ont donc pour diviseurs communs 1, 2, 5 et 10
Ex 2 :
a) x et y sont des multiples de 2 donc ils ont bien pour diviseur commun 2
b) y n'est pas un multiple de 5 donc y et z n'ont pas pour diviseur commun 5
c) 2 x 3² = 18 n'est pas un diviseur de y donc la réponse est non ...
Ex 3 :
On calcul le PGCD à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
a)
⇒
377 = (233 × 1) + 144
233 = (144 × 1) + 89
144 = (89 × 1) + 55
89 = (55 × 1) + 34
55 = (34 × 1) + 21
34 = (21 × 1) + 13
21 = (13 × 1) + 8
13 = (8 × 1) + 5
8 = (5 × 1) + 3
5 = (3 × 1) + 2
3 = (2 × 1) + 1
2 = (1 × 2) + 0
Donc PGCD(377,233) = 1
Et donc 377 et 233 sont premiers entre eux.
⇒
965 = (657 × 1) + 308
657 = (308 × 2) + 41
308 = (41 × 7) + 21
41 = (21 × 1) + 20
21 = (20 × 1) + 1
20 = (1 × 20) + 0
Donc PGCD(965,657) = 1
Et donc 965 et 657 sont premiers entre eux.
⇒
12456 = (2444 × 5) + 236
2444 = (236 × 10) + 84
236 = (84 × 2) + 68
84 = (68 × 1) + 16
68 = (16 × 4) + 4
16 = (4 × 4) +0Donc PGCD(12456,2444) = 4
b) Simplification des fractions : Pour cela, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (que l'on a trouvé à la question a) ... )
233/377 ⇒ fraction déjà simplifiée car PGCD = 1
657/965 ⇒ fraction déjà simplifiée car PGCD = 1
2444/12456 ⇒ on divise par 4 au numérateur et au dénominateur :
2444/12456 = 611/3114 ⇒ fraction simplifiée
Ex 4 :
De la même façon qu'à l'exercice 3 :
⇒ 34 et 51 sont divisibles par 17 :
34/51 = 2/3
⇒
51 est divisible par 17 donc :
17/51 = 1/3
⇒ 4838 et 3567 sont divisibles par 41:
4838/3567 = 118/87
⇒ 3567 est divisible par 41 donc :
3567/41 = 87
Ex 5 :
⇒PGCD(240,210) = 30 donc 240/210 = 8/7
⇒
PGCD(385,108) = 1 donc 108/385 est irréductible
⇒PGCD(1495,1001) = 13 donc 1495/1001 = 115/77
⇒Numérateur et dénominateur sont déjà décomposés en produits de facteurs premiers, il ne reste donc plus qu'à simplifier :
[tex] \frac{3*5^2*7^3}{3^2*5*7^4} = \frac{5}{3*7} = \frac{5}{21} [/tex]
6)
a)Cherchons le PGCD de ces deux nombres :
3926 = (1547 × 2) + 832
1547 = (832 × 1) + 715
832 = (715 × 1) + 117
715 = (117 × 6) + 13
117 = (13 × 9) + 0
Donc PGCD(3926,1547) = 13
Il pourra donc réaliser un maximum de 13 paquets
Chaque paquet contiendra alors 3926/13 = 302 sucettes et 1547/13 = 119 bonbons
b) Le prix d'un paquet sera alors 302 x 0.5 + 119 x 0.2 = 174.8 €
Ex 7 :
Il faut que le nombre de groupes soit à la fois un diviseur du nombre total d'enfants mais aussi un diviseur du nombre total d'accompagnateurs.
Les solutions possibles correspondent donc aux diviseurs communs de ces deux nombres :
315 a pour diviseurs : 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105, 315
42 a pour diviseurs : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Ces deux nombres on donc pour diviseurs communs 1, 3, 7 et 21.
On peut donc constituer soit :
⇒ 1 seul groupe composé de 315 élèves et 42 accompagnateurs
⇒ 3 groupes composés de 105 élèves et 14 accompagnateurs
⇒ 7 groupes composés de 45 élèves et 6 accompagnateurs
⇒ 21 groupes composés de 15 élèves et 2 accompagnateurs
