la dérivée de f(x)=5cosx + x² est f '(x) = - 5sinx + 2x
sa dérivée seconde est f ''(x) = -5 cosx +2
sa dérivée troisième est f'''(x)= 5sinx
or sinx est positive entre 0 et pi donc f '' est croissante sur [ 0; pi]
f "(0)= -5+2 = -3 et f''(pi)= 0+2 = 2
ce qui prouve que f'' s'annule une seule fois puisqu'elle croit de -3 à 2
l'équation f''(x)=0 a pour solution α =arc cos(2/5) = 1,159279484...
1,15927<α<1,15928
signe de f '' de cosα = 2/5 on déduit que 5cosα = 2
comme f '' est croissante on en déduit que
f''(x) <0 si x <α et f''(x) > 0 si x > α
f' est donc décroissante sur [ 0; α ] puis croissante sur [ α ; pi ]
son minimum est f'( α)= -5 sin α + 2α
comme cosα = 2/5 alors cos²α = 4/25 et sin²α= 21/25
d'où sinα = √21 /5 et f'( α)= -5 sin α + 2α = - √ 21 + 2α
f '(0)= 0 f '( α) = -3,4 environ <0 f'(pi)= 2 pi > 0
comme f ' décroit de 0 à f '( α) <0 puis croît de f '( α) <0 à f '(pi) >0
f' s'annule deux fois : une fois avant α pour x= 0 et une fois aprés α pour
x= β = x = 2,125345191 ...
2,12 <β<2,13
3) sur [ 0, β ] f ' négative donc f est décroissante
sur [ β ; pi ] f ' positive et f croissante
son minimum est f( β )= 5 cos(β) + β² avec -5sinβ +2 β = 0
donc sin β = 2 β /5 sin²β = 4 β²/25 et
cos²β = 1/25 ( 25- 4 β²)
donc cosβ = - 1/5 * √(25- 4β²) car β> pi /2
et f( β )= 5 cos(β) + β² = - √(25- 4β²) + β²
