Salut,
1è étape : carré 2 cm de côté, aire 0 = 4cm²
on en colorie 1 donc on colorie (1/4) de cette aire0 = aire 1 (donc à l'étape 1 on colorie l'aire1)
Il en reste 3 donc (3/4) de aire0 = 3 x aire1
2è étape : dans chacune des 3 aires 1 restantes :
on colorie (1/4) aire1 = aire2 donc en tout on colorie 3x(1/4) aire1
on laisse (3/4) aire 1 = 3 x aire2 donc en tout on laisse 3x(3/4) aire 1
3è étape : On va faire 3x3 fois la chose suivante:
on colorie (1/4) aire2 = aire3
on laisse (3/4) aire2 = 3 x aire3
n è étape : On va faire (n-1)fois :3x3x...x3 fois la chose suivante:
on colorie (1/4) aire (n-1)= aire n
on laisse (3/4) aire(n-1) = 3 x aire n
Somme des surfaces colorées au bout de n coloriages :
Σ = aire 1 + 3 aire 2 + 3² aire 3 + 3³ aire 4+ ...+ 3⁽ⁿ⁻¹⁾ aire n
Σ = (1/4)x aire0 + 3x (1/4)aire1 + 3² (1/4)aire2 + 3³ (1/4)aire3+ ...+ 3⁽ⁿ⁻¹⁾ (1/4) aire (n-1)
Σ = (1/4)x aire0 + 3x (1/4)(1/4)aire0+ 3² (1/4)(1/4)(1/4)aire0 + 3³ (1/4)(1/4)(1/4)(1/4)x aire0+ ...+ 3⁽ⁿ⁻¹⁾ (1/4)x (1/4)(1/4).....(1/4)aire0
Σ = (1/4)x aire0 + 3x (1/4)²xaire0+ 3² (1/4)³x aire0 + 3³ (1/4)⁴ x aire0+ ...+ 3⁽ⁿ⁻¹⁾ (1/4)ⁿ x aire0
or aire0 = 4 donc
Σ = (1/4)x 4 + 3x (1/4)² x4 + 3² (1/4)³ x 4 + 3³ (1/4)⁴ x 4 + ...+ 3⁽ⁿ⁻¹⁾ (1/4)ⁿ x 4
Σ = 1 + 3x (1/4) + 3² (1/4)² + 3³ (1/4)³ + ...+ 3⁽ⁿ⁻¹⁾ (1/4)⁽ⁿ⁻¹⁾
Σ = 1 + (3/4) + (3/4)² + (3/4)³ + ...+ (3/4)⁽ⁿ⁻¹⁾
En supposant que ça soit juste (à revérifier comme d'habitude), maintenant qu'on sait ce qu'il faut obtenir, il y a sans doute des rédactions plus élégantes que ça. A toi de voir.
