Bonjour
Oceean
[tex]f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+1}[/tex]
1) Calculs de a, b et c.
[tex](0;3)\in G_f\Longrightarrow f(0)=3\\\\\Longrightarrow\dfrac{a\times0^2+b\times0+c}{0^2+1}=3\\\\\Longrightarrow\boxed{c=3}\\\\\Longrightarrow f(x)=\dfrac{ax^2+bx+3}{x^2+1}[/tex]
Or
[tex](-1;1)\in G_f\Longrightarrow f(-1)=1\\\\\Longrightarrow\dfrac{a\times(-1)^2+b\times(-1)+3}{(-1)^2+1}=1\\\\\Longrightarrow\dfrac{a-b+3}{2}=1\\\\\Longrightarrow a-b+3=2\\\\\Longrightarrow \boxed{a-b=-1}[/tex]
[tex](1;5)\in G_f\Longrightarrow f(1)=5\\\\\Longrightarrow\dfrac{a\times1^2+b\times1+3}{1^2+1}=5\\\\\Longrightarrow\dfrac{a+b+3}{2}=5\\\\\Longrightarrow a+b+3=10\\\\\Longrightarrow \boxed{a+b=7}[/tex]
Pour trouver a et b, résolvons le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}a-b=-1\\a+b=7\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}a=-1+b\\a+b=7\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}a=-1+b\\-1+b+b=7\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}a=-1+b\\2b=8\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}a=-1+b\\b=4\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}a=-1+4\\b=4\end{matrix}\right.\ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}a=3\\b=4\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, a=3 ; b=4 et c=3
et [tex]\boxed{f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}}[/tex]
[tex]2)\ \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2}{x^2}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}3=3\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=3}[/tex]
Par conséquent,
la courbe C admet une asymptote horizontale Δ en -oo et en +oo dont l'équation est y = 3.
[tex]3)\ f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}\\\\f(x)=\dfrac{3x^2+3+4x}{x^2+1}\\\\f(x)=\dfrac{3(x^2+1)+4x}{x^2+1}\\\\f(x)=\dfrac{3(x^2+1)}{x^2+1}+\dfrac{4x}{x^2+1}\\\\\boxed{f(x)=3+\dfrac{4x}{x^2+1}}\\\\\Longrightarrow\boxed{\alpha=3\ et\ \beta=4}[/tex]
4) Tableau de variations de f.
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-\infty&&1&&0&&1&&+\infty\\f(x)&3&\searrow&1&\nearrow&3&\nearrow&5&\searrow&3&\\ \end{array}[/tex]
5) En tenant compte du tableau de variations de f, nous pouvons déduire que :
sur l'intervalle ]-oo ; 0], la courbe C est en-dessous de l'asymptote horizontale Δ.
sur l'intervalle [0 ; +oo[, la courbe C est au-dessus de l'asymptote horizontale Δ.
[tex]6)a)\ f(x)+f(-x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}+\dfrac{3(-x)^2+4(-x)+3}{(-x)^2+1}\\\\f(x)+f(-x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}+\dfrac{3x^2-4x+3}{x^2+1}\\\\f(x)+f(-x)=\dfrac{3x^2+4x+3+3x^2-4x+3}{x^2+1}\\\\f(x)+f(-x)=\dfrac{6x^2+6}{x^2+1}\\\\f(x)+f(-x)=\dfrac{6(x^2+1)}{x^2+1}\\\\\boxed{f(x)+f(-x)=6}[/tex]
[tex]b)\ f(x)+f(-x)=6\Longleftrightarrow f(x)+f(-x)=2\times3\\\\\Longleftrightarrow \boxed{f(x)+f(-x)=2\times f(0)}[/tex]
Nous pouvons donc en déduire que le point I(0 ; 3) est un centre de symétrie pour la courbe C.
Autrement dit, la courbe C est symétrique par rapport au point I(0 ; 3).
[tex]7)a)\ \lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=\lim\limits_{u\to+\infty}f(u)=3\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=3}[/tex]
