Bonjour
Marie278
Soit x = AN
On sait que ANMP est un carré si AN = AP.
Par Thalès dans le triangle ABC,
[tex]\dfrac{AC}{MN}=\dfrac{AB}{BN}=\dfrac{BC}{MB}\\\\\dfrac{AC}{MN}=\dfrac{AB}{BN}\\\\\dfrac{3}{MN}=\dfrac{4}{4-x}\\\\\dfrac{3}{AP}=\dfrac{4}{4-x}\\\\4\times AP=3\times(4-x)\\\\\boxed{AP=\dfrac{3(4-x)}{4}}[/tex]
ANMP est un carré si AN = AP
[tex]x=\dfrac{3(4-x)}{4}\\\\4x=3(4-x)\\\\4x=12-3x\\\\4x+3x=12\\\\7x=12\\\\\boxed{x=\dfrac{12}{7}}[/tex]
Or, par Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A,
BC² = AB² + AC²
BC² = 4² + 3²
BC² = 16 + 9
BC² = 25
BC = √25
BC = 5
En reprenant Thalès dans le triangle ABC, nous obtenons :
[tex]\dfrac{AC}{MN}=\dfrac{AB}{BN}=\dfrac{BC}{MB}\\\\\dfrac{AB}{BN}=\dfrac{BC}{MB}\\\\\dfrac{4}{4-x}=\dfrac{5}{MB}\\\\4\times MB=5\times(4-x)\\\\MB=\dfrac{5}{4}\times(4-x)\\\\MB=\dfrac{5}{4}\times(4-\dfrac{12}{7})\\\\MB=\dfrac{5}{4}\times(\dfrac{28}{7}-\dfrac{12}{7})\\\\MB=\dfrac{5}{4}\times\dfrac{16}{7}\\\\MB=\dfrac{80}{28}\\\\MB=\dfrac{4\times20}{4\times7}\\\\\boxed{MB=\dfrac{20}{7}}[/tex]
Par conséquent,
pour que ANMP soit un carré, il faut placer le point M sur [BC] à une distance de 20/7 par rapport au point B.
