Bonjour
Yacine931
Partie A
1) O est le centre du cercle circonscrit à ABC signifie que OA = OB = OC
Or
[tex]OA=|a|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\\\\OB=|b|=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\\\\OC=|c|=\sqrt{(-\sqrt{5})^2+(-\sqrt{5})^2}=\sqrt{5+5}=\sqrt{10}\\\\\Longrightarrow\boxed{OA=OB=OC}[/tex]
Par conséquent, O est le centre du cercle circonscrit à ABC.
2) Affixe de H :
[tex]a+b+c=(3+i)+(-1+3i)+(-\sqrt{5}-i\sqrt{5})\\\\a+b+c=(2-\sqrt{5})+(4-\sqrt{5})i\\\\\ \ avec\ 2-\sqrt{5}\approx-0,24\ \ et\ \ 4-\sqrt{5}\approx1,76[/tex]
Vérification graphique en pièce jointe.
Partie B
1) O est le centre du cercle circonscrit à ABC signifie que OA = OB = OC,
soit que OA² = OB² = OC².
On sait que
[tex]OA^2=|a|^2=a\overline{a}\\\\OB^2=|b|^2=b\overline{b}\\\\OC^2=|c|^2=c\overline{c}\\\\\Longrightarrow \boxed{OA^2=OB^2=OC^2\Longleftrightarrow a\overline{a}=b\overline{b}=c\overline{c}}[/tex]
Par conséquent,
O est le centre du cercle circonscrit à ABC si et seulement si [tex]a\overline{a}=b\overline{b}=c\overline{c}[/tex]
[tex]2)\ w=\overline{b}c-b\overline{c}[/tex]
a) w est un imaginaire pur si et seulement si [tex]\boxed{\overline{w}=-w}[/tex]
Or
[tex]\overline{w}=\overline{\overline{b}c-b\overline{c}}=\overline{\overline{b}c}-\overline{b\overline{c}}=b\overline{c}-\overline{b}c}=-(\overline{b}c}-b\overline{c})=-w\\\\\Longrightarrow\boxed{\overline{w}=-w}[/tex]
Par conséquent, w est un imaginaire pur.
[tex]b)\ (b +c)(\overline{b}-\overline{c})=b\overline{b}-b\overline{c}+c\overline{b}-c\overline{c}\\\\(b +c)(\overline{b}-\overline{c})=(b\overline{b}-c\overline{c})-b\overline{c}+c\overline{b}\\\\(b +c)(\overline{b}-\overline{c})=0-b\overline{c}+c\overline{b}\ \ [car\ \ b\overline{b}=c\overline{c}]\\\\(b +c)(\overline{b}-\overline{c})=-b\overline{c}+c\overline{b}\\\\(b +c)(\overline{b}-\overline{c})=\overline{b}c-b\overline{c}\\\\\boxed{(b +c)(\overline{b}-\overline{c})=w}[/tex]
De plus
[tex]\dfrac{b+c}{b-c}=\dfrac{(b+c)(\overline{b}-\overline{c})}{(b-c)(\overline{b}-\overline{c})}=\dfrac{w}{(b-c)(\overline{b-c})}=\dfrac{w}{|b-c|^2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{b+c}{b-c}=\dfrac{w}{|b-c|^2}}[/tex]
c) Dans la question 2a), nous avons montré que w est un imaginaire pur.
De plus |b-c|² est un nombre réel.
D'où w/|b-c|² est un imaginaire pur.
Puisque (b+c)/(b-c) = w/|b-c|², on en déduit que (b+c)/(b-c) est un imaginaire pur.
[tex]3)\ a)\ z_{\overrightarrow{AH}}=z_H-z_A\\\\z_{\overrightarrow{AH}}=(a+b+c)-a\\\\\boxed{z_{\overrightarrow{AH}}=b+c}\\\\\\z_{\overrightarrow{CB}}=z_B-z_C\\\\\boxed{z_{\overrightarrow{BC}}=b-c}[/tex]
[tex]b)\ \dfrac{b+c}{b-c}=\dfrac{z_{\overrightarrow{AH}}}{z_{\overrightarrow{BC}}}\ est\ un\ imaginaire\ pur\\\\\\\Longrightarrow(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{AH})=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z})[/tex]
c) Nous venons de montrer que les vecteurs [tex]\overrightarrow{CB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AH}[/tex] étaient orthogonaux.
D'où la droite (AH) est une hauteur du triangle ABC issue de A.
On démontrerait de même que les vecteurs [tex]\overrightarrow{CA}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BH}[/tex] sont orthogonaux.
D'où la droite (BH) est une hauteur du triangle ABC issue de B.
Par conséquent, le point H commun à ces deux hauteurs est l'orthocentre du triangle ABC.
