Bonsoir,
On sais que pour que lt théorème de Thalès soit validé, il faut que, dans cette situation, les points R,T et A soient alignés ainsi que les points A, U et F. De plus, les droites (FR) et (TU) soient parallèles.
On sais que les droites sont parallèles, car (FR) et (TU) sont perpendiculaires à une même droite. Et, un théorème dit que lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même droites, alors ces deux droites sont parallèles. On a donc (FR) // (TU).
On va donc appliquer la réciproque du théorème de Thalès, si le résultat est validé, alors les points A,F et U sont alignés.
On a donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, AT/AR = AU/AF = UT/FR
AT = 13 cm
AR = 13 + 8 = 21 cm
EUTR étant un rectangle (un parallélépipède avec 4 angles droits et 2 côtés perpendiculaires de même mesure est un rectangle), on a donc ER = 8
Donc FR = 8 + 5 = 13 cm
UT = 8 cm
Il nous manque les mesures AU et FU.
Pour AU, on a le triangle rectangle FEU rectangle en E. D'après le théorème de Pythagore, FU² = FE² + UE²
FU² = 5² + 8²
FU² = 25 + 64
FU² = 89
FU = √89
FU = 9
On a donc FU = 9 cm
On va faire la même chose pour le triangle UTA rectangle en T. D'après le théorème de Pythagore, On a donc UA² = UT² + AT²
UA² = 8² + 13²
UA² = 64 + 169
UA² = 233
UA = √233
UA = 15.26 cm.
On a donc toutes les mesures qu'il nous faut, on récapitule :
AT = 13 cm
AR = 21 cm
FR = 13 cm
UT = 8 cm
UA = 15.26 cm
FA = 9 + 15.26 = 24.26 cm.
On a, d'après la réciproque du théorème de Thalès, AT/AR = AU/AF = UT/FR
On remplace par les données :
13/21 = 15.26/24.26 = 8/13
On test avec des produis en croix :
13 * 24.26 = 21*15.26 ?
315.38 = 320.46
On peut s'arrêter là, les 2 résultats n'étant pas égaux, la contraposée du théorème de Thalès est validé, et donc les points ne sont pas alignés.
