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MILINVIZ
résolu

bonjour , s'il vous plait aider moi pour ce problème

Le centurion demande à ses soldats de se ranger pas lignes de 5 ,mais il reste 4 soldats,
Il leur demande alors de se ranger pas lignes de 6 ,mais il reste 5 soldats.
Il leur demande de se ranger pas lignes de 8 ,mais il reste 7 soldats.

__1. Combien cette armée comporte-t-il elle de soldats sachant qu'elle compte moins de deux-cents hommes ?
__2. Par lignes de combien de soldats ce centurion pourra-t-il ranger correctement son armée ?

Répondre :

LAURANCEVIZ
1)l'armée compte  5 fois a soldats + 4  : 5a +4 
mais également  6 b +5 
aussi  8 c +  7 
avec  
5a + 4 =  6b + 5  =   8c + 7 

donc
6b  -8c =  7-5  =  2 ⇒  3b  - 4c   =   1 ⇒  3b - 4c =  9 - 8 ⇒
3b -9 = 4c -8 ⇒  3(b-3)= 4(c-8)  
forcément   b-3  est  multiple de 4  
b-3 = 4k  
et    c -8 multiple de   3
c - 8 = 3k 
5a +4 = 6b +5  = 6(3+4k) + 5 
5a +4 = 23 + 24 k    donc 
5a  - 24k = 23 -4 = 19 
5a  se termine par  0 ou 5  
24k  par    0; 2 ; 4 ; 6 ou 8 
pour que la différence soit  19 
il faut que  5a finisse par 5 et  24k  par 6    ( 115 - 96) 
5a  - 24k =  115 - 96 
5a -115 = 24k -96 
5(a - 23)=  24( k -4)  
a -23 est  multiple de  24 
a = 24n  +23 
l'armée compte donc  5*24n  + 5*23 + 4 soldats = 120n + 119  et sachant qu'elle compte moins de deux-cents hommes  n= 0 
l'armée compte   119 hommes 
119 = 5 * 23   +  4  = 6* 19 + 5   = 8 * 14 + 7 
2)119 = 7*17    il peut faire  7  lignes de 17 soldats  ou  17 lignes  de 7 soldats 



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