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résolu

Svp ç très très urgent !! Merci d avance
) à) vérifier que les nombres premiers 3,5,7,11,13,17 et 19 s'écrivent sous la forme 4n+1 ou 4n+3,où n désigne un nombre entier.
b)En utilisant la division euclidienne par 4,expliquer pourquoi un nombre entier est de l'une des formes 4n ou 4n+1 ou 4n+2 ou 4n+3.
c)Expliquer pourquoi un nombre premier supérieur ou égal à 3 et de l'une des formes 4n+1 ou 4n+3.
d)Existe-t-il des nombres de la forme 4n+1 ou 4n+3 qui ne sont pas premiers?
2) Expliquer de même pourquoi un nombre premier supérieur ou égal à 5 est de l'une des forme 6n+1 ou 6n+5.
Je n est rien compris qui peut m aider svp ç est urgent !
Merci

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

a) 3 = 4x0 + 3
5 = 4x1 + 1
...

19 = 4x4 + 3

b) Le reste de la division d'un nombre entier par 4 est 0 ou 1 ou 2 ou 3.

Donc, tout entier N peut s'écrire 4n ou 4n+1 ou 4n+2 ou 4n+3

c) Si N premier et >= 3, il ne peut pas s'écrire 4n, car il serait divisible par 4, ni 4n+2, car il serait divisible par 2 (4n+2=2(2n+1)).

==> N = 4n+1 ou N=4n+3

NB : La condition > ou = à 3 exclut uniquement N=1.

d) oui

4x2+1 = 9 = 3x3
4x5+1 = 21 = 3x7

2) Les restes de la division euclidienne d'un entier par 6 sont 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5.

==> Tout entier peut s'écrire 6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4, ou 6n+5

Un nombre premier > ou = à 5 ne peut pas s'écrire 6n, 6n+2=2(3n+1), 6n+3=3(2n+1) ni 6n+4=2(3n+2).

Donc il peut s'écrire 6n+1 ou 6n+5
Bonsoir,

1.a)
3=0*4+3
5=1*4+1
7=1*4+3
11=2*4+3
13=3*4+1
17=4*4+1
19=4*4+3
Les nombres sont donc  multiple de 4 +1 ou multiple de 4 +3.

1.b)

Soit n un nombre naturel .
La division euclidienne  de n par 4 est définie par:
il existe un quotient q et un reste inférieur au diviseur:
n=q*4+r avec r=0,1,2,3.

1.c)
 Tout nombre premier p>3 étant un naturel est donc de la forme
4N+0=4N
ou 4N+1
ou 4N+2
ou 4N+3

si p est un multiple de 4 (r=0) ses diviseurs sont 1,2,4,...,p
Il y a donc plus de 2diviseurs : p n'est pas premier.

si p est un multiple de 4 +2 :
p=q*4+2=2(2q+1)
ses diviseurs sont 1,2,2q+1 au moins
==> au moins 3 diviseurs: p n'est pas premier

p est donc de la forme 4N+1 ou 4N+3.

d) OUI par ex 9=2*4+1 n'est pas premier.

2)
si p est un nombre naturel >5 , il sera de la forme
6N+0=6N
ou 6N+1
ou 6N+2
ou 6N+3
ou 6N+4
ou 6N+5

Pour un reste pair (0,2,4) p=4*q+2*k  avec k=0,1,2
p=2(2q+k) dont les diviseurs sont 1,2,2q+k au moins
p  n'est pas premier

Si p est de la forme 6N+3
alors
p=6*n+3=3(2n+1) dont les diviseurs sont au moins 1,3,2n+1:
p n'est pas premier.

Tout nombre premier est de la forme 6N+1 ou 6N+5
Il existe des naturels de la forme 6N+1 (6N+5) qui ne sont pas premiers:
ex 25=4*6+1 n'est pas premier.

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