ors d'un jeu, Marc doit répondre à la question suivante :
« Le premier jour, nous vous offrons 100 € puis chaque jour suivant, nous vous offrons 5 % de plus que la veille et une somme fixe de 20 €. Au bout de combien de jours aurez-vous gagné 10 000 € ? »
Pour tout entier naturel n non nul, on note un le montant total en euros versé à Marc le n-ième jour. Ainsi, u1=100.
Calculer u2.
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5% est égal à 1,05. Donc la somme u2, offerte le deuxième jour est :
u2=1,05×u1+20Soitu2=1,05×100+20=125
Ainsi, u2=125
Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, un+1=1,05un+20.
Pour tout entier naturel n non nul, un est le montant total en euros versé à Marc le n-ième jour. Le jour suivant, le montant offert à Marc est égal au montant un augmenté de 5 % (c'est à dire 1,05×un) auquel il faut ajouter le fixe de 20 €.
Donc pour tout entier naturel n non nul, un+1=1,05un+20.
Pour tout entier naturel n non nul, on pose vn=un+400.
Calculer v1.
v1=u1+400Soitv1=100+400⇔v1=500
Ainsi, v1=500
Démontrer que la suite vn est une suite géométrique et préciser sa raison.
Pour tout entier naturel n non nul,
vn+1=un+1+400⇔vn+1=1,05un+20+400⇔vn+1=1,05un+420⇔vn+1=1,05un+400⇔vn+1=1,05vn
Ainsi, pour tout entier n non nul, vn+1=1,05vn donc vn est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme v1=500.
Exprimer vn en fonction de n puis en déduire que un=500×1,05n-1-400.
vn est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme v1=500, alors pour tout entier n non nul,
vn=500×1,05n-1
Par conséquent, pour tout entier n non nul,
un+400=500×1,05n-1⇔un=500×1,05n-1-400
Ainsi, pour tout entier n non nul, un=500×1,05n-1-400.
Déterminer, en fonction de n, la somme v1+v2+⋯+vn.
v1+v2+⋯+vn est la somme des n-1 premiers termes d'une suite géométrique d'où :
v1+v2+⋯+vn=500×1-1,05n1-1,05=10000×1,05n-1
Pour tout entier n non nul, v1+v2+⋯+vn=10000×1,05n-1.
Quelle réponse Marc doit-il donner ?
Au n-ième jour, le montant total en euros que Marc aura gagné est égal à :
u1+u2+⋯+un=v1-400+v2-400+⋯+vn-400=v1+v2+⋯+vn-400n=10000×1,05n-1-400n
Par conséquent, n est le plus petit entier tel que :
u1+u2+⋯+un⩾10000⇔10000×1,05n-1-400n⩾10000⇔1,05n-1-0,04n⩾1⇔1,05n-0,04n-2⩾0
On ne sait pas résoudre algébriquement l'inéquation 1,05n-0,04n-2⩾0 !
La méthode la plus simple consiste à utiliser la calculatrice pour représenter la fonction f définie sur l'intervalle 1+∞ par fx=1,05x-0,04x-2 puis, répondre à la question soit à l'aide de la courbe repésentative soit à l'aide du tableau des valeurs de la fonction f
Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
fx -0,99 -0,978 -0,962 -0,944 -0,924 -0,9 -0,873 -0,843 -0,809 -0,771 -0,73 -0,684 -0,634 -0,58 -0,521 -0,457 -0,388 -0,313 -0,233 -0,147 -0,054 0,045 0,152
La somme totale que Marc aura gagné, dépassera 10 000 € au bout de 22 jours.
remarque :
Une méthode plus rigoureuse, consiste à étudier la fonction f définie sur l'intervalle 1+∞ par fx=1,05x-0,04x-2 :
La dérivée de la fonction f est la fonction f′ définie sur l'intervalle 1+∞ par f′x=ln1,05×1,05x-0,04.
Établir que
ln1,05×1,05x-0,04>0⇔x>-ln25ln1,05ln1,05
En déduire que sur l'intervalle 1+∞, la fonction f est strictement coissante.
Remarquer que f1=-0,99 et que limx→+∞fx=+∞
Le théorème de la valeur intermédiaire permet d'établir que l'équation fx=0 admet une solution unique x0∈1+∞
Du fait de la stricte croissance de la fonction f nous pouvons conclure que pour tout réel x>x0, fx>0
Enfin utiliser la calculatrice pour vérifier que 21<x0<22
