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MANONFNRVIZ
résolu

bonjour, j'ai un exercice a faire en DM et j'arrive vraiment pas. est ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Dans l’activité 3, on a conjecturer que le nombre irrationnel racine de 2 est la limite d'une suite de nombre rationnels.
On se propose, dans cet exercice, de démontrer cette conjecture.

f est la fonction définie sur R* par :

f(x)=1/2 (x + 2/x)

1)a) Justifier que la fonction f est derivable pour tout x de R*

b) Démontrer que pour tout x de R*:

f'(x) =( (x- racine de 2)(x+ racine de 2)) / 2x²

déduisez en le tableau de variation de f sur R*


2) La suite (Un) est définie par Uo= 3/2 et pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un)

a) Calculer U1 et U2. ( Donnez les résultats sous la forme de fraction, puis sous forme décimale arrondie à 10^-5.

b) Démonter par récurrence que pour tout entier naturel n, racine de 2 < Un+1< Un

Déduisez en que la suite (Un) est convergente

c) Démontrez que pour tout n de N,

U + racine de 2 < 1/2 ( U - racine de 2)
n+1 n

d) Déduisez en par récurrence que pour tout n de N

0< U - racine de 2 n 0
e) Déduisez en lim lorsque n tend vers +infini de Un


Merci beaucoup

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1)a) f(x) = x/2 + 1/x somme de fonctions dérivables sur Df.

1)b) f'(x) = 1/2 - 1/x^2

= 1/2x^2 (x^2 - 2)

= 1/2x^^2 (x - V(2))(x + V(2))

x    -infini    -V(2)       0        V(2)        +infini

f'(x)          +    0      -  ||  -       0       +

f(x)      crois.   | décr. || décr.  |  crois.

f(V(2)) = 1/2(V(2) + 2/V(2)) = 1/2(2V(2)) = V(2)

2)

U0 = 3/2
Un+1 = f(Un)

a) U1 = 1/2(3/2 + 4/3) = 1/2 x 17/6 = 17/12 = 1,41666

U2 = 1/2(17/12 + 24/17) = 1/2 x 577/204 = 577/408 = 1,41421568

b)

Au rang n=1

Un = U1 = 17/12
Un+1 = U2 = 577/408

On vérifie bien que :

V(2) < Un+1 < Un  (V(2) = 1,41421356

On suppose que la propriété est vraie au rang n.

Soit V(2) < Un+1 < Un

Un+2 = f(Un+1)

Et Un+1 > V(2)

Or f est croissante sur [V(2), +infini[

==> f(V2) < f(Un+1) < f(Un)

Soit V(2) < Un+2 < Un+1

==> hérédité démontrée

V(2) < Un+1 < Un ==> (Un) est convergente (décroissante et bornée)

c) comprends par la formule à démontrer ??

Un + V(2) > Un+1 + V(2) > 2V(2)


Un+1 + V(2) = Un/2 + 1/Un

Tu peux repréciser l'inégalité à démontrer ?
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