Bonjour
Jekifflesmath
Partie A
1) Graphique en pièce jointe.
La droite D1 est en vert.
L’entreprise réalisera des bénéfices si la droite D1 est située au-dessus de la courbe
représentative de la fonction C.
Nous remarquons que D1 est toujours en-dessous de la courbe C.
Par conséquent, l'entreprise ne peut réaliser un bénéfice si le prix du marché est égal à 400 €.
2) a) graphique en pièce jointe.
La droite D2 est en bleu.
Le droite D2 est située au-dessus de la courbe C si les valeurs de x sont comprises environ entre 2,05 et 8,65.
Par conséquent, si le prix du marché est 680 €, l'entreprise réalisera un bénéfice pour une quantité x comprise entre 2,05 et 8,65.
[tex]b)\ B(x)=680x-C(x)\\\\B(x)=680x-(15x^3-120x^2+500x+750)\\\\B(x)=680x-15x^3+120x^2-500x-750\\\\B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750\\\\B((x)=(-15x^3)'+(120x^2)'+(180x)'-750'\\\\\boxed{B'(x)=-45x^2+240x+180}[/tex]
c) Variations de B sur [0 ; 10]
Tableau de signes de B'(x) et variations de B
[tex]-45x^2+240x+180=0\\\\\Delta=240^2-4\times(-45)\times180=90000\\\\x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90000}}{2\times(-45)}=\dfrac{-240-300}{-90}=6\\\\x_2=\dfrac{-240+\sqrt{90000}}{2\times(-45)}=\dfrac{-240+300}{-90}=-\dfrac{60}{90}=-\dfrac{2}{3}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-\frac{2}{3}&&6&&+\infty\\-45x^2+240x+180&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\Sur\ [0;10]\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&6&&10\\B'(x)&&+&0&-&\\B(x)&-750&\nearrow&1410&\searrow&-1950\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
le bénéfice maximum est égal à 1410 € et est réalisé pour une quantité égale à 6 (km de tissu).
Partie B
[tex]1)\ C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}\\\\C_M(x)=\dfrac{15x^3-120x^2+500x+750}{x}\\\\C_M(x)=15x^2-120x+500+\dfrac{750}{x}\\\\\Longrightarrow C_M'(x)=30x-120-\dfrac{750}{x^2}\\\\C_M'(x)=\dfrac{30x^3-120x^2-750}{x^2}[/tex]
Il reste à démontrer que [tex]30(x-5)(x^2+x+5)=30x^3-120x^2-750[/tex]
En effet :
[tex]30(x-5)(x^2+x+5)=30(x^3+x^2+5x-5x^2-5x-25)\\\\30(x-5)(x^2+x+5)=30(x^3-4x^2-25)\\\\\boxed{30(x-5)(x^2+x+5)=30x^3-120x^2-750}[/tex]
Par conséquent,
[tex]C'_M(x)=\dfrac{30(x-5)x(x^2+x+5)}{x^2}[/tex]
2) a) 30 > 0
x² + x+ 5 > 0 car son discriminant Δ=1-20=-19 < 0 ==> x²+x+5 est du signe de "a", soit positif.
x² > 0
Donc C'M(x) sera du signe de (x-5)
Variations de CM
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&5&&10\\C'_M(x)&&-&0&+&\\C_M(x)&||&\searrow&415&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
Le coût moyen sera minimal si la quantité est de 5 (km de tissu).
Ce coût moyen sera alors égal à 415 € et le coût total C(5) = 2125 €
